Welcome to Ganitsarani

1. নিন্মলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচিত করো । \([1\times 6=6]\)

(i) কোনো আসল ও তার বার্ষিক সবৃদ্ধিমূলের অনুপাত 25 : 28 হলে, বার্ষিক সুদের হার —

(a) 3% (b) 12% (c) 10\(\frac{5}{7}\)% (d) 8%

(ii) কোন শর্তে \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ শূন্য হবে ?

(a) \(a=0\) (b) \(b=0\) (c) \(c=0\) (d) কোনোটিই নয়

(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ বা ছেদ না করলে বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা —

(a) 2 টি (b) 1 টি (c) 3 টি (d) 4 টি

(iv) \(sin θ = cos θ\) হলে, \(2θ\) এর মান —

(a) 30° (b) 60° (c) 45° (d) 90°

(v) একটি শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হলে, শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের —

(a) 3 গুণ (b) 4 গুণ (c) 6 গুণ (d) 8 গুণ

(vi) 2, 8, 2, 3, 8, 5, 9, 5, 6 সংখ্যাগুলির মধ্যমা —

(a) 8 (b) 6.5 (c) 5.5 (d) 5

2. শূন্যস্থান পূরণ করো । (যেকোনো পাঁচটি ) \([1\times 5=5]\)

(i) কোনো মূলধনের বার্ষিক শতকরা সুদের হারে —— বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ সমান ।
(ii) \(ax^2+bx+c=0\) দ্বিঘাত সমীকরণটির \(b^2 = 4ac\) হলে, বীজদ্বয় বাস্তব ও —— হবে ।
(iii) দুটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের পরিমাপ সমানুপাতে থাকলে, ত্রিভুজ দুটি —— হবে ।
(iv) \(cos^2θ−sin^2θ=\cfrac{1}{x},(x>1)\) হলে, \(cos^4θ−sin^4θ\) = —— ।
(v) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতলের সংখ্যা ______________ ।
(vi) \(x_1,x_2,x_3,....,x_n\) এই \(n\) সংখ্যক সংখ্যার গড় \(\bar{x}\) হলে, \(Kx_1,Kx_2,Kx_3,....,Kx_n\) এর গড় —— \((K≠0)\)

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো । (যেকোনো পাঁচটি ) \([1\times 5=5]\)

(i) A 10,000 টাকা দিয়ে ব্যবসা শুরু করার 6 মাস পরে B 20,000 টাকা দিল । বৎসরান্তে তাদের লভ্যাংশের পরিমাণ সমান হবে ।
(ii) \(x=2+\sqrt3\) হলে, \(x+\cfrac{1}{x}\) -এর মান হবে \(2\sqrt3\)
(iii) 7 সেমি ও 3 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করলে, তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 4 সেমি হবে ।
(iv) \(0° < θ < 90°\) হলে, \(sin θ > sin^2θ\) হবে ।
(v) একটি অর্ধ গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ সেমি হলে, ওর ব্যাসার্ধ 3 সেমি হবে ।
(vi) ওজাইভ দুটির ছেদবিন্দু থেকে x -অক্ষের ওপর লম্ব টানলে x -অক্ষ ও লম্বের ছেদবিন্দুর ভুজই হল মধ্যমা ।

4. নিন্মলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও । (যেকোনো দশটি ) \([2\times 10=20]\)

(i) \(r\%\) হার চক্রবৃদ্ধি সুদে কোনো মূলধন 8 বছরে দ্বিগুণ হলে, কত বছরে চার গুণ হবে ?
(ii) কোনো এক ব্যবসায় A -এর মূলধন B -এর মূলধনের দেড়গুণ । ওই ব্যবসায় বৎসরান্তে B 1,500 টাকা লভ্যাংশ পেলে, A কত টাকা লভ্যাংশ পাবে ?
(iii) সমাধান না করে \('p'\) -এর যে সকল মানের জন্য \(x^2 + (p - 3)x + p = 0\) সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ আছে তা নির্ণয় করো ।
(iv) \( x∝yz\) এবং \(y∝zx\) হলে, দেখাও যে, \(z (≠ 0)\) একটি ধ্রুবক ।
(v) দুটি সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমা যথাক্রমে 20 সেমি ও 16 সেমি। প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি হলে, দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
(vi) △ABC -এর ∠ABC = 90°, AB = 5 সেমি, BC = 12 সেমি হলে, ওই ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত ?
(vii) △ABC -এর AB = \((2a - 1)\) সেমি, AC = \(2\sqrt{2a}\) সেমি এবং BC = \((2a +1)\) সেমি হলে, ∠BAC -এর মান লেখো ।
(viii) \(x=a\sec\theta, y=b\tan\theta\) হলে \(x\) ও \(y\) এর মধ্যে \(\theta\) বর্জিত সম্পর্কটি নির্নয় কর ।
(ix) \( tan (θ + 15°) = √3\) হলে, \(sinθ + cosθ\) -এর মান নির্ণয় করো ।
(x) একটি গোলকের ব্যাস অপর একটি গোলকের ব্যাসের দ্বিগুণ । যদি বড়ো গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান ছোটো গোলকটির আয়তনের সাংখ্যমানের সমান সমান হয়, তবে ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ কত ?
(xi) একটি আয়তঘনের তলসংখ্যা = x, ধার সংখ্যা = y, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা = z এবং কর্ণের সংখ্যা = p হলে, (x-y+z+p)=?
(xii) 11, 12, 14, x - 2, x + 4, x + 9, 32, 38, 47 রাশিগুলি ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজানো এবং তাদের মধ্যমা 24 হলে, x -এর মান নির্ণয় করো ।

5. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও \([1 \times 5=5] \)

(i) বার্ষিক 4% হার সুদে কত টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অন্তত 80 টাকা হবে ?
(ii) A, B ও C যৌথভাবে 1,80,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল । A , B -এর থেকে 20,000 টাকা বেশি এবং B, C -এর থেকে 20,000 টাকা বেশি দিল । লাভের পরিমাণ 10,800 টাকা তাদের মধ্যে ভাগ করে দাও ।

6. যেকোনো একটি সমাধান করো । \([1 \times 3=3] \)

(i) সমাধান করো :
\(\cfrac{1}{a+b+x}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{x}\)
\([x≠0,−(a+b)]\)
(ii) একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হলে, সংখ্যাটি কত ?

7. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও । \([1 \times 3=3] \)

(i) সরল করো :
\(\cfrac{1}{√2+√3}−\cfrac{√3+1}{2+√3}+\cfrac{√2+1}{3+2√2}\)
(ii) একটি হোস্টেলের ব্যয় আংশিক ধ্রুবক ও আংশিক ওই হোস্টেলবাসী লোকসংখ্যার সঙ্গে আছে। লোকসংখ্যা 120 হলে ব্যয় 2000 টাকা হয় এবং লোকসংখ্যা 100 হলে ব্যয় 1700 টাকা হয়। ব্যয় 1,880 টাকা হলে লোকসংখ্যা কত হবে?

8. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও । \([1 \times 3=3] \)

(i) যদি \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় \(\cfrac{1}{2}\) অথবা \(-1\) ।
(ii) যদি \((b + c - a)x = (c + a - b)y\) \( = (a + b - c)z = 2\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\left(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}\right)\left(\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\right)\left(\cfrac{1}{z}+\cfrac{1}{x}\right)=abc\)

9. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও । \([1 \times 5=5] \)

(i) যে-কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে, প্রমাণ করো যে, প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে ।
(ii)প্রমাণ করো যে, কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়, তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান ।

10. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও । \([1 \times 3=3] \)

(i) প্রমাণ করো যে, কোনো চতুর্ভুজের কোণ চারটির সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর মিলিত হয়ে যে চতুর্ভুজ গঠন করে, সেটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।
(ii) △ABC পরিকেন্দ্র O এবং OD⊥BC । প্রমাণ করো যে, ∠BOD=∠BAC

11. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও । \([1 \times 5=5] \)

(i) 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করো এবং ওই ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করো । (কেবলমাত্র অঙ্কনচিহ্ন দিতে হবে ) ।
(ii) 8 সেমি ও 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র অঙ্কন করো এবং ওই আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করো । (কেবলমাত্র অঙ্কনচিহ্ন দিতে হবে) ।

12. যেকোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও । \([2 \times 3=6] \)

(i) কোনো চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ \(\cfrac{π}{3},\cfrac{5π}{6}\) ও \(90°\) হলে, চতুর্থ কোনটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান লেখো ।
(ii) \(\cfrac{sinθ}{x}=\cfrac{cosθ}{y}\) হলে, প্রমাণ করো যে , \(sinθ−cosθ=\cfrac{x−y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)।
(iii) যদি \(tan 9^o =\cfrac{a}{b}\) হয়, তবে প্রমান কর যে, \(\cfrac{sec^2 81^o}{1+cot^2 81^o} =\cfrac{b^2}{a^2}\)

13. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও । \([1 \times 5=5] \)

(i) দুটি স্তম্ভের দূরত্ব 150 মিটার । একটির উচ্চতা অন্যটির তিনগুণ । স্তম্ভদ্বয়ের পাদদেশে সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু থেকে তাদের শীর্ষের উন্নতি কোণদ্বয় পরস্পর পূরক । ছোটো স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় করো ।
(ii) একটি লাইটহাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের অবনতি কোণ যদি 60° ও 30° হয় এবং কাছের জাহাজটি যদি লাইটহাউস থেকে 150 মিটার দূরে থাকে, তবে লাইটহাউস থেকে দূরের জাহাজটির দূরত্ব কত ?

14. যেকোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও । \([2 \times 4=8] \)

(i) 4.2 ডেসিমি দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একাট নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে,তার আয়তন নির্ণয় করো।
(ii) 9 সেমি দৈর্ঘ্যের অন্তর্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি অর্ধগোলাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে। এই জল 3 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাস ও 4 সেমি. উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করা হলে কতগুলি বোতলের প্রয়োজন হবে?
(iii) একটি ঢাকনাসমেত চোঙাকৃতি জলের ট্যাংকের ভূমির ক্ষেত্রফল 616 বর্গমিটার এবং উচ্চতা 21 মিটার । ওই ট্যাঙ্কের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো ।

15. যেকোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও । \([2 \times 4=8] \)

(i) নীচের তথ্যের মধ্যমা 32 হলে, x ও y -এর মান নির্ণয় করো যখন পরিসংখ্যার সমষ্টি 100 :

শ্রেণি সীমা	0-10	10-20	20-30
পরিসংখ্যা	10	x	25

30-40	40-50	50-60
30	y	10

(ii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো ।

শ্রেণি সীমা	0-5	5-10	10-15
পরিসংখ্যা	5	12	18

15-20	20-25	25-30	30-35
28	17	12	8

(iii) নীচের তথ্যের ক্রমোযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করোঃ

শ্রেণি সীমানা	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
পরিসংখ্যা	4	10	15	8	3	5