Welcome to Ganitsarani

Important for মাধ্যমিক 2025

Chapter - 1
1. \((a-2)x^2+3x+5=0\) সমীকরণটি \(a\) এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি ।

(a) \(a=0\) (b) \(a=2\) (c) \(a=4\) (d) \(a=-2\)


2. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির একটি বীজ শূন্য হবার শর্ত –

(a) \(a=0\) (b) \(b=0\) (c) \(c=0\) (d) কোনোটিই নয়


3. \(ax^2+bx+c=0, (a \ne 0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অনোন্যক হবে যদি

(a) \(a=b\) (b) \(a=c\) (c) \(b=c\) (d) \(b^2=4ac\)


4. \((p+2)x^2-(p-3)x+3p-1=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে \(p\) এর মান কত ?

(a) -3 (b) 1 (c) 3 (d) কোনোটিই নয়


5. \(ax^2+bx+c=0\) \((a\ne0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে -

(a) \(c=\cfrac{-b}{2a}\) (b) \(c=\cfrac{b}{2a}\) (c) \(c=\cfrac{-b^2}{4a}\) (d) \(c=\cfrac{b^2}{4a}\)


6. \(3x^2-6x+p=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে \(p\) এর মান

(a) \(\cfrac{5}{3}\) (b) -\(\cfrac{1}{3}\) (c) -3 (d) 3


7. \(x^2 - 2kx + 4 = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে \(k\)-এর মান নির্ণয় করাে-

(a) \(\pm 1\) (b) \(\pm 3\) (c) \(\pm 4\) (d) \(\pm 2\)


8. \(3x^2–4x+k = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল 5 হলে \(k\) এর মান হবে -

(a) 5 (b) -12 (c) 15 (d) -20


9. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজের সমষ্টি 7 এবং অন্তর 3 হলে, সমীকরণটি হবে –

(a) \(x^2–7x+3=0\) (b) \(x^2–7x-3=0\) (c) \(x^2–7x+10=0\) (d) \(x^2-7x+7=0\)


10. \(x^2-18x+8=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর -

(a) বাস্তব, মূলদ, অসমান (b) সমান, মূলদ (c) বাস্তব, মূলদ, সমান (d) কোনোটিই নয়


11. \(k\)-এর মান কত হলে \(x+\cfrac{k}{x}=2\) সমীকরণের একটি বীজ \(1\) হবে?

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4


12. \(3x^2 + \sqrt2x + a = 0\) সমীকরণের একটি বীজ \(\sqrt2\) হলে, \(a\)-এর মান নির্ণয় করাে।

(a) 7 (b) -8 (c) 9 (d) 8


13. \(x^2 – 6x + 2 = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি হবে

(a) 2 (b) -2 (c) 6 (d) -6


1. \(ax^2+bx+c=0 (a\ne 0)\) সমীকরণের। বীজদ্বয় সমান এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত হওয়ার শর্তটি হল _____
2. \(x^2-3x+k=10\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল -2 হলে \(k\)-এর মান হবে ____।
3. \(7x^2-12x+18=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফলের অনুপাত___________
4. যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো________
5. \((x-1)^2+(x-2)^2+(x-3)^2=0\) সমীকরণের বাস্তব বীজসংখ্যা হল ______।
6. \(5x^2-2x+1= 0\) সমীকরণে বীজদ্বয়ের সমষ্টি ____
7. \(ax^2+bx+c=0(a≠0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, \(c=\)_____________
8. \(ax^2+bx+c=0(a≠0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্বক) হলে, \(a+c=\)____________
1. \(k\) এর মান কত হলে \(9x^2+3kx+4=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে লিখি ।
2. \(kx^2+2x+3k=0 (k\ne 0)\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে \(k\) এর মান কত ?
3. \(k\)-এর কোনাে মান বা মানগুলির জন্য নিম্নলিখিত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে : \((3k+1)x^2 +2(k+1)x+k=0\)
4. \(x^2-x=k(2x-1)\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে \(k\)-এর মান কত?
5. \(x^2-x=k(2x-1)\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সাংখ্যমান সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হলে, \(k\)-এর মান নির্ণয় করো।
1. \(x^2+x+1=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।
2. \(x^6+5x^3+6=0\) সমীকরণটি \(x^3\) -এর সাপেক্ষে দ্বিঘাত।
1. \(a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমাণ কর \(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{c}=\cfrac{2}{b}\)
2. \((b-c) x^2+(c-a)x+(a-b)=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করো- \(a+c=2b\)
3. \((a^2+b^2)x^2-2(ac+bd)x\) \(+(c^2+a^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমাণ কর, \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)
4. \(2(a^2+b^2) x+2(a+b) x+1=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করাে যে, \(a = b\)।
5. \((1+m^2)x^2+2mcx+(c^2-a^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে, প্রমাণ কর \(c^2=a^2(1+m^2)\)
6. \((p^2+q^2)x^2-2(pr+qs)x+(r^2+s^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমাণ করাে \(ps=qr\)
7. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:p\) হলে, প্রমাণ করো যে, \(\cfrac{(p+1)^2}{p}=\cfrac{b^2}{ac}\)
8. \(3x^2+8x+2=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) এবং \(\beta\) হলে \(\cfrac{1}{\alpha^2}+\cfrac{1}{\beta^2}\) এর মান নির্ণয় করাে।
9. \(x^2-3x+5=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে \((\alpha+\beta)\left(\cfrac{1}{\alpha^2}+\cfrac{1}{\beta^2}\right)\) এর মান নির্ণয় করাে।
10. \(ax^2+bx+c = 0\) এর বীজদ্বয় α ও β হলে \(\left(1+\cfrac{α}{β}\right)\left(1+\cfrac{β}{α}\right)\) এর মান কত?
11. \(3x^2+2x-5=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α এবং β হলে \(\cfrac{α^2}{β}+\cfrac{β^2}{α}\) = কত?
12. যদি \(ax^2+7x+b=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \(\cfrac{2}{3}\) ও \(-3\) হয় তবে \(a\) ও \(b\) -এর মান নির্ণয় করি ।
13. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় \((-5), (-7)\) হলে, সমীকরণটি নির্ণয় করাে।
14. \(\cfrac{5}{6}\) ও \(\cfrac{4}{3}\) মানদুটি \(x+ \cfrac{1}{x}=\cfrac{13}{6} \) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই কর ।
15. যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ ৪ এবং -2 সেই সমীকরণটি নির্ণয় করাে।
16. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)
17. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির তিনগুণ হলে দেখাও যে, \(3b^2=16ac\)
18. \((l+m^2)x^2+2mcx+(c^2-a^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি বাস্তব ও সমান হলে, প্রমান করি যে, \(c^2=a^2(l+m^2)\)
19. প্রমাণ করি যে, \(x^2(a^2+b^2)\) \(+2(ac+bd)x\) \(+(c^2+d^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই, যখন \(ad\ne bc\).
20. \((a^2-bc)x^2+2(b^2-ca)x+(c^2-ab)=0\) বীজদ্বয় সমান হলে দেখাও যে \(b=0\) অথবা, \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
1. সমাধান করো: \(\cfrac{a}{ax-1}+\cfrac{b}{bx-1}=a+b\), \([x\ne\cfrac{1}{a},\cfrac{1}{b}]\)
2. সমাধান করাে : \(\cfrac{x+2}{x-2}+6\left(\cfrac{x-2}{x+2}\right)=5\)
3. সমাধান করাে :
\(\cfrac{1}{(x-2)(x-4)}+\cfrac{1}{(x-4)(x-6)}\)
\(+\cfrac{1}{(x-6)(x-8)}+\cfrac{1}{3}=0\)
4. সমাধান করাে: \(x+a+\cfrac{1}{x+a} = c+\cfrac{1}{c}\)
5. সমাধান করাে : \(x+\cfrac{1}{x} = p+\cfrac{1}{p}\)
6. সমাধান করাে :
\(\cfrac{p}{x-q}+\cfrac{q}{x-p}=2 (x\ne p,q)\)
1. শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়ােগ করে সমীকরণটি সমাধান কর : \((4x - 3)^2 – 2 (x + 3) = 0\)
2. \(4x^2+(2x-1)(2x+1)=4x(2x-1)\) এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব কিনা বুঝে লিখি ।
3. \(5x^2+2x-7=0\) এই সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে \(x=\cfrac{k±12}{10}\) পাওয়া গেলে \(k\) এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি ।
4. শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে একটি ধনাত্বক সংখ্যা লিখি যা তার বর্গের চেয়ে 30 কম ।
5. সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে মিঃ/সেঃ বেশি। 180 মিটার দৌড়তে গিয়ে সালমা অনিকের থেকে 2 সেকেন্ড আগে পৌঁছায়। অনিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার হবে তা শ্রীধর আচার্যের সুত্রের সাহায্যে নির্ণয় করাে।
6. শ্রী্ধর আচার্যের সূত্র প্রয়ােগ করে সমাধান করাে : \(3x^2-11x +8 = 0\)
7. কোনো দলের কাছে 195 টাকা জমা ছিল এবং দলে যতজন সদস্য প্রত্যেকে তত টাকা চাঁদা দেওয়ার পর দলের মোট অর্থ দলের সকলের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করলে প্রত্যেকে 28 টাকা করে পাবে । শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে ওই দলের সদস্য সংখ্যা নির্ণয় করি ।
8. \((x –7) (x – 9) = 195\) (শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়ােগ করে সমাধান করাে)।