Welcome to Ganitsarani

1. নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও অনুপাতগুলি সাম্যানুপাত, লঘু অনুপাত না গুরু অনুপাত বুঝে লিখি।

(i) 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস
(ii) 75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা
(iii) 60 সেমি. এবং 0.6 মিটার
(iv) 1.2 কিগ্রা. এবং 60 গ্রাম
2.(i) p কিগ্রা ও q গ্রামের অনুপাতটি লিখি।
(ii) x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় কখন সম্ভব হবে লিখি।
(iii) একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত কী ধরনের অনুপাত হবে লিখি ।
(iv) \(\cfrac{a}{b}:c, \cfrac{b}{c}:a, \cfrac{c}{a}:b\) এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি ।
(v) \(x^2:yz\) এবং কোন অনুপাতের মিশ্র অনুপাত \(xy:z^2\) হবে হিসাব করে লিখি ।
(vi) \(x^2:\cfrac{yz}{x},y^2:\cfrac{zx}{y},z^2:\cfrac{yx}{z}\) অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি ।

3. নিন্মলিখিতগুলির মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি:

(i) 4:5,5:7 এবং 9:11
(ii) \((x+y):(x-y), (x^2+y^2)\) \(:(x+y)^2\) এবং \((x^2-y^2)^2:(x^4-y^4)\)
4. (i) A:B=6:7 এবং B:C=8:7 হলে, A:C নির্ণয় করি।
(ii) A:B=2:3, B:C=4:5 এবং C:D=6:7 হলে, A:D নির্ণয় করি।
(iii) যদি A:B=3:4 এবং B:C=2:3 হয়, তাহলে A:B:C নির্ণয় করি ।
(iv) x:y=2:3 এবং y:z=4:7 হলে, x:y:z নির্ণয় করি।
5. (i) x:y=3:4 হলে, (3y-x):(2x+y) কত হবে নির্ণয় করি ।
(ii) a:b=8:7 হলে, দেখাই যে (7a-3b):(11a-9b)=7:5
(iii) p:q=5:7 এবং p-q=-4 হলে, 3p+4q এর মান নির্ণয় করি ।
6. (i) \((5x-3y):(2x+4y)=11:12\) হলে, \(x:y\) নির্ণয় করি ।
(ii) (3a+7b):(5a-3b)=5:3 হলে, a:b নির্ণয় করি ।
7. (i) (7x-5y):(3x+4y)=7:11 হলে, দেখাই যে (3x-2y):(3x+4y)=137:473
(ii) (10x+3y):(5x+2y)=9:5 হলে, দেখাই যে (2x+y):(x+2y)=11:13
8. (i) 2:5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6:11 হবে নির্ণয় করি ।
(ii) a:b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m:n হবে নির্ণয় করি ।
(iii) কোন সংখ্যা 4:7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তরপদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটির মান 2:3 ও 5:4 -এর যৌগিক অনুপাত হবে ।

1. নিন্মলিখিত সমানুপাতে \(x\)-এর মান নির্ণয় করি ।

(i) \( 10:35::x:42\)
(ii) \( x:50::3:2\)

2. নিন্মলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করি:

(i) \(\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{4},\cfrac{1}{5}\)
(ii) 9.6 কিগ্রা., 7.6 কিগ্রা., 28.8 কিগ্রা
(iii) \(x^2y, y^2z, z^2x\)
(iv) \((p-q), (p^2-q^2), p^2-pq+q^2\)

3. নিন্মলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি:

(i) 5,10
(ii) 0.24,0.6
(iii) \(p^3q^2, q^2r\)
(iv) \((x-y)^2,(x^2-y^2)^2\)

4.নিন্মলিখিত ধনাত্মক সংখ্যাগুচ্ছগুলির মধ্য সমানুপাতী নির্ণয় করি:

(i) 5 এবং 80
(ii) 8.1 এবং 2.5
(iii) \(x^3y\) এবং \( xy^3\)
(iv) \((x-y)^2, (x+y)^2\)
5. যদি a:b এবং c:d এই অনুপাতে দুটি বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলি কী সম্পর্ক প্রকাশ করে লিখি ।
6. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে কটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে হিসাব করে লিখি।
7. 5টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6 হলে, পঞ্চমটি নির্ণয় করি ।
8. 6,15,20 ও 43-এর প্রত্যেকটির সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে হিসাব করে লিখি।
9. 23,30,57 এবং 78-এর প্রত্যেকটি থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি ।
10. p,q,r,s-এর প্রত্যেকটির থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি ।

1. \(a:b=c:d\) হলে, দেখাই যে,

(i) \((a^2+b^2):(a^2-b^2)=(ac+bd):(ac-bd)\)
(ii) \((a^2+ab+b^2): (a^2-ab+b^2)= (c^2+cd+d^2) : (c^2-cd+d^2)\)
(iii) \(\sqrt{a^2+c^2} ∶ \sqrt{b^2+d^2 } = (pa+qc):(pb+qd)\)

2. \(x:a=y:b=z:c\) হলে, প্রমান করি যে,

(i) \(\cfrac{x^3}{a^2} +\cfrac{y^3}{b^2} +\cfrac{z^3}{c^2} =\cfrac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}\)
(ii) \(\cfrac{x^3+y^3+z^3}{a^3+ b^3+ c^3}=\cfrac{xyz}{abc}\)
(iii) \((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2\)

3. \(a:b=c:d=e:f\) হলে, প্রমান করি যে,

(i) প্রত্যেকটি অনুপাত=\(\cfrac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}\)
(ii) \((a^2+c^2+e^2)(b^2+d^2+f^2)=(ab+cd+ef)^2\)

4. যদি \(a:b=b:c\) হয়, তবে প্রমান করি যে,

(i) \(\left(\cfrac{a+b}{b+c}\right)^2=\cfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)
(ii) \(a^2b^2c^2\left(\cfrac{1}{a^3} +\cfrac{1}{b^3} +\cfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3\)
(iii) \(\cfrac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3} =1\)

5. \(a,b,c,d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,

(i) \((a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2\)
(ii) \((b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)
6. (i) যদি \(\cfrac{m}{a}=\cfrac{n}{b}\) হয়, তবে দেখাই যে, \((m^2+n^2)(a^2+b^2)=(am+bn)^2\)
(ii) যদি \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{x}{y}\) হয়, তবে দেখাই যে, \((a+b)(a^2+b^2 ) x^3=(x+y)(x^2+y^2 ) a^3\)
(iii) \(\cfrac{x}{lm-n^2}=\cfrac{y}{mn-l^2}=\cfrac{z}{nl-m^2}\) হয়, তবে দেখাই যে, \(lm-my+nz=0\)
(iv) \(\cfrac{x}{b+c-a}=\cfrac{y}{c+a-b}=\cfrac{z}{a+b-c}\) হলে দেখাই যে, \((b-c)x+(c-a)y+(a-b)z=0\)
(v) \(\cfrac{x}{y}=\cfrac{a+2}{a-2}\) হলে দেখাই যে, \(\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\cfrac{4a}{a^2+4}\)
(vi) \(x=\cfrac{8ab}{a+b}\) হলে, \(\left(\cfrac{x+4a}{x-4a}+\cfrac{x+4b}{x-4b}\right)\) এর মান হিসাব করে লিখি।
7. (i) \(\cfrac{a}{3}=\cfrac{b}{4}=\cfrac{c}{7}\) হলে দেখাই যে \(\cfrac{a+b+c}{c}=2\)
(ii) \(\cfrac{a}{q-r}=\cfrac{b}{r-p}=\cfrac{c}{p-q}\) হলে দেখাই যে, \(a+b+c = 0 = pa+qb+rc\)
(iii) \(\cfrac{ax+by}{a}=\cfrac{bx-ay}{b}\) হলে দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত \(x\) এর সমান ।
8. (i) যদি \(\cfrac{a+b}{b+c}=\cfrac{c+d}{d+a}\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(c=a\) অথবা \(a+b+c+d=0\)
(ii) যদি \(\cfrac{x}{b+c}=\cfrac{y}{c+a}=\cfrac{z}{a+b}\) হয়, দেখাই যে, \(\cfrac{a}{y+z-x}=\cfrac{b}{z+x-y} =\cfrac{c}{x+y-z}\)
(iii) \(\cfrac{x+y}{3a-b}=\cfrac{y+z}{3b-c}=\cfrac{z+x}{3c-a} \) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+y+z}{a+b+c}=\cfrac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\)
(iv) \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c} \) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x^2-yz}{a^2-bc}=\cfrac{y^2-zx}{b^2-ca}=\cfrac{z^2-xy}{c^2-ab} \)
9. (i) যদি \(\cfrac{3x+4y}{3u+4v}=\cfrac{3x-4y}{3u-4v}\) হয়, তবে দেখাই যে \(\cfrac{x}{y}=\cfrac{u}{v}\)
(ii) \((a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d)\) হলে, প্রমান করি যে, \(a:b=c:d\)
10. (i) \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হলে দেখাও \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}=1\)
(ii) \(x^2:(by+cz)=y^2:(cz+ax)=z^2:(ax+by)=1\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{a}{a+x}+\cfrac{b}{b+y}+\cfrac{c}{c+z}=1\)
11. (i) \(\cfrac{x}{xa+yb+zc}=\cfrac{y}{ya+zb+xc} =\cfrac{z}{za+xb+yc} \) এবং \(x+y+z≠0\) হলে, দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত \(\cfrac{1}{a+b+c}\) এর সমান।
(ii) \(\cfrac{x^2-yz}{a}=\cfrac{y^2-zx}{b}=\cfrac{z^2-xy}{c}\) হলে, প্রমাণ করি যে, \((a+b+c)(x+y+z)=ax+by+cz\)
(iii) \(\cfrac{a}{y+z}=\cfrac{b}{z+x}=\cfrac{c}{x+y} \) হলে, প্রমাণ করি যে, \(\cfrac{a(b-c)}{y^2-z^2}=\cfrac{b(c-a)}{z^2-x^2}=\cfrac{c(a-b)}{x^2-y^2} \)

12. অতিসংক্ষিপ্র উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) 3,4 এবং 6-এর চতুর্থ সমানুপাতী

(a) 8 (b) 10 (c) 12 (d) 24

(ii) 8 এবং 12-এর তৃতীয় সমানুপাতী

(a) 12 (b) 16 (c) 18 (d) 20

(iii) 16 এবং 25-এর মধ্য সমানুপাতী

(a) 400 (b) 100 (c) 20 (d) 40

(iv) \(a\) একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং \(a:\cfrac{27}{64}=\cfrac{3}{4}:a\) হলে, \(a\)-এর মান

(a) \(\cfrac{81}{256}\) (b) 9 (c) \(\cfrac{9}{16}\) (d) \(\cfrac{16}{9}\)

(v) \(2a=3b=4c\) হলে, \(a:b:c\) হবে

(a) 3:4:6 (b) 4:3:6 (c) 3:6:4 (d) 6:4:3

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি ।

(i) \(ab:c^2,bc:a^2\) এবং \(ca:b^2\) এর যৌগিক অনুপাত \(1:1\)
(ii) \(x^3y,x^2y^2\) এবং \(xy^3\) ক্রমিক সমানুপাতী।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি।

(i) তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুনফল 64 হলে, তাদের মধ্যসমানুপাতী _______
(ii) a:2=b:5=c:8 হলে a এর 50%=b এর 20% =c এর ________%
(iii) (x+2) এবং (x-3) এর মধ্য সমানুপাতী x হলে, x-এর মান ________

13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A)

(i) \(\cfrac{a}{2}=\cfrac{b}{3}=\cfrac{c}{4}=\cfrac{2a-3b+4c}{p}\) হলে, \(p\)-এর মান নির্ণয় করি।
(ii) \(\cfrac{3x-5y}{3x+5y}=\cfrac{1}{2}\) হলে, \(\cfrac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2} \) এর মান নির্ণয় করি ।
(iii) \(a:b=3:4\) এবং \(x:y=5:7\) হলে, \((3ax-by) : (4by-7ax)\) কত নির্ণয় করি।
(iv) \(x,12,y,27\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে, \(x\) ও \(y\)-এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করি।
(v) \(a:b=3:2\) এবং \(b:c=3:2\) হলে, \(a+b:b+c\) কত নির্ণয় করি।

Will be available soon...

Will be available soon...