Welcome to Ganitsarani

1. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছি যার অতিভুজ AB=10 সেমি., ভূমি BC= 8 সেমি. এবং লম্ব AC=6 সেমি.। ∠ABC-এর Sine এবং tangent-এর মান নির্ণয় করি।
2. সোমা একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছে যার ∠ABC=90°, AB=24 সেমি. এবং BC=7 সেমি.। হিসাব করে sinA, cosA, tanA ও cosecA-এর মান লিখি।
3. যদি ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের ∠C=90°, BC=21 একক এবং AB=29 একক হয়, তাহলে sinA, cosA, sinB ও cosB-এর মান নির্ণয় করি।
4. যদি cosθ = \(\cfrac{7}{25}\) হয়, তাহলে θ কোণের সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান নির্ণয় করি।
5. যদি cotθ=2 হয়, তাহলে tanθ ও secθ-এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, 1+tan\(^2\)θ = sec\(^2\)θ
6. cosθ =0.6 হলে, দেখাই যে, (5sinθ - 3tanθ) = 0
7. যদি \(cotA= \cfrac{4}{7.5}\) হয়, তাহলে \(cosA\) এবং \(cosecA\)-এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, \(1 + cot^2 A = cosec^2 A\)
8. যদি \(sin C= \cfrac{2}{3}\) হয়, তবে \(cos C × cosec C\)-এর মান হিসাব করে লিখি।

9. নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।

(i) tanA-এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা বড়ো।
(ii) cotA-এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা ছোটো।
(iii) একটি কোণ θ-এর জন্য sinθ = \(\cfrac{4}{3}\) হতে পারে।
(iv) একটি কোণ α-এর জন্য secα = \(\cfrac{12}{5}\) হতে পারে।
(v) একটি কোণ β(Beta)-এর জন্য cosecβ = \(\cfrac{5}{13}\) হতে পারে।
(vi) একটি কোণ θ -এর জন্য cosθ = \(\cfrac{3}{5}\) হতে পারে।

1. আমাদের বাড়ির জানালায় একটি মই ভূমির সঙ্গে 60° কোণে রাখা আছে। মইটি 2√3 মিটার লম্বা হলে আমাদের ওই জানালাটি ভূমি থেকে কত উপরে আছে ছবি এঁকে হিসাব করে লিখি।
2. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B সমকোণ। AB = 8√3 সেমি. এবং BC = 8 সেমি. হলে, ∠ACB ও ∠BAC-এর মান হিসাব করে লিখি।
3. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90°, ∠A = 30° এবং AC = 20 সেমি.। BC এবং AB বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
4. PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠Q = 90°, ∠R = 45°; যদি PR = 3√2 মিটার হয়, তাহলে PQ ও QR বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

5. মান নির্ণয় করি :

(i) \(sin^2 45° - cosec^2 60° + sec^2 30°\)
(ii) \(sec^2 45°– cot^2 45° – sin^2 30° – sin^2 60° \)
(iii) \(3 tan^2 45°\) \(- sin^2 60° \) \(- \cfrac{1}{3} cot^2 30° \) \(- \cfrac{1}{8} sec^2 45°\)
(iv) \(\cfrac{4}{3}cot^2 30°\) \( + 3 sin^2 60°\) \(- 2cosec^2 60°\) \(- \cfrac{3}{4} tan^2 30°\)
(v) \(\cfrac{\cfrac{1}{3} cos30°}{\cfrac{1}{2} sin45°}+\cfrac{tan60°}{cos30°}\)
(vi) \(cot^2 30° \) \(– 2cos^2 60° \) \(- \cfrac{3}{4}sec^2 45° \) \(-4sin^2 30°\)
(vii) \(sec^2 60° – cot^2 30° – \cfrac{2tan30° cosec60° }{1+tan^2⁡ 30°} \)
(viii) \(\cfrac{tan60°-tan30° }{1+tan60° tan30°} \) \(+cos60° cos30° \) \(+ sin60° sin30°\)
(ix) \(\cfrac{1-sin^2⁡ 30°}{1+sin^2⁡ 45°} \) \(\times \cfrac{cos^2⁡ 60° + cos^2⁡ 30°}{cosec^2⁡ 90° -cot^2⁡ 90°} \div (sin 60° tan 30°)\)

6. দেখাই যে,

(i) \(sin^2 45° + cos^2 45° = 1\)
(ii) \(cos 60° = cos^2 30° – sin^2 30° \)
(iii) \(\cfrac{2 tan⁡ 30°}{1-tan^2⁡ 30°} = √3\)
(iv) \(\sqrt{\cfrac{1+cos⁡ 30°}{1-cos30°}} \) \(= sec60° + tan60°\)
(v) \(\cfrac{2 tan^2⁡ 30°}{1-tan^2⁡ 30°} \) \(+ sec^245° \) \(- cot^2 45°\) \( = sec60°\)
(vi) \(tan^2 \cfrac{\pi}{4} sin⁡\cfrac{\pi}{3} tan⁡\cfrac{\pi}{6} tan^2⁡ \cfrac{\pi}{3}=1\cfrac{1}{2}\)
(vii) \(sin⁡ \cfrac{\pi}{3} tan⁡ \cfrac{\pi}{6}+sin⁡ \cfrac{\pi}{2} cos \cfrac{\pi}{3}=2 sin^2⁡ \cfrac{\pi}{4}\)
7. (i) \(x sin 45° \) \(cos 45° \) \(tan 60° \) \(= tan^2 45°\) \(- cos60°\) হলে, \(x\)-এর মান নির্ণয় করি।
(ii) \(x sin 60° cos^2 30° = \cfrac{tan^2⁡ 45° sec60° }{cosec60°}\)হলে, \(x\)-এর মান নির্ণয় করি।
(iii) \(x^2 = sin^2 30° + 4cot^2 45° – sec^2 60°\) হলে, \(x\)-এর মান নির্ণয় করি।
8. \(x tan 30° + y cot 60° = 0\) এবং \(2x –y tan 45° = 1\) হলে, \(x\) ও \(y\)-এর মান হিসাব করে লিখি।

9. যদি A = B = 45° হয়, তবে যাচাই করি যে,

(i) \( sin (A+B)=sin A cos B + cos A sin B \)
(ii) \( cos (A+B)=cos A cos B - sin A sin B \)
10. (i) ABC সমবাহু ত্রিভুজের BD একটি মধ্যমা। প্রমাণ করি যে, tan∠ABD = cot∠BAD
(ii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC এবং ∠BAC=90°; ∠BAC-এর সমদ্বিখন্ডক BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, \(\cfrac{sec∠ACD}{sin∠CAD}=cosec^2∠CAD\)
11. \(θ (0° ≤ θ ≤ 90°)\) - এর কোন মান / মানগুলির জন্য \(2cos^2θ - 3cosθ +1 = 0\) সত্য হবে নির্ণয় করি।

1. (i) \(\sin θ=\cfrac{4}{5}\) হলে, \(\cfrac{ cosecθ}{1+\cot θ}\) -এর মান নির্ণয় করে লিখি।
(ii) যদি \(\tan θ=\cfrac{3}{4}\) হয়, তবে দেখাই যে \(\sqrt{\cfrac{1-sinθ}{1+sinθ}}=\cfrac{1}{2}\)
(iii) \(\tan θ=1\) হলে \(\cfrac{8 \sin θ+5 \cos θ}{\sin^3⁡ θ-2 \cos^3 θ + 7 \cos θ}\) -এর মান নির্ণয় করি।
2. (i) cosecθ এবং tanθ -কে sinθ -এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।
(ii) cosecθ এবং tanθ -কে cosθ -এর মাধ্যমে লিখি।
3. (i) secθ + tanθ = 2 হলে, (secθ- tanθ)-এর মান নির্ণয় করি।
(ii) cosecθ- cotθ= √2 - 1 হলে, (cosecθ+ cotθ) -এর মান হিসাব করে লিখি।
(iii) sinθ+ cosθ=1 হলে, sinθ × cosθ এর মান নির্ণয় করি।
(iv) tanθ+ cotθ= 2 হলে, (tanθ- cotθ)-এর মান নির্ণয় করি।
(v) sinθ- cosθ= \(\cfrac{7}{13}\) হলে, sinθ+ cosθ-এর মান নির্ণয় করি।
(vi) sinθcosθ=\(\cfrac{1}{2}\) হলে, (sinθ+ cosθ) -এর মান হিসাব করে লিখি।
(vii) secθ- tanθ= \(\cfrac{1}{√3}\) হলে, secθ এবং tanθ উভয়ের মান নির্ণয় করি।
(viii) cosecθ+ cotθ= √3 হলে, cosecθ এবং cotθ উভয়ের মান নির্ণয় করি।
(ix) \(\cfrac{sinθ+cosθ}{sinθ-cosθ}=7\) হলে, tanθ-এর মান হিসাব করে লিখি।
(x) \(\cfrac{cosecθ+sinθ}{cosecθ-sinθ}=\cfrac{5}{2}\) হলে, sinθ-এর মান হিসাব করে লিখি।
(xi) \(secθ+cosθ=\cfrac{5}{2}\) হলে, (secθ- cosθ) -এর মান হিসাব করে লিখি।
(xii) \(5sin^2 \theta+4cos^2 \theta=\cfrac{9}{2}\) সম্পর্কটি থেকে \(tan \theta\)-এর মান নির্ণয় করি।
(xiii) \(tan^2 θ+cot^2 θ= \cfrac{10}{3}\) হলে, tanθ + cotθ এবং tanθ- cotθ-এর মান নির্ণয় করি এবং সেখান থেকে tanθ-এর মান হিসাব করে লিখি।
(xiv) \(sec^2 θ+tan^2 θ = \cfrac{13}{12}\) হলে, \(sec^4 θ- tan^4 θ\)-এর মান হিসাব করে লিখি।
4. (i) PQR ত্রিভুজে ∠Q সমকোণ। PR=√5 একক এবং PQ-RQ=1 একক হলে, cosP-cosR -এর মান নির্ণয় করি।
(ii) XYZ ত্রিভুজে∠Y সমকোণ । XY=2√3 একক এবং XZ-YZ=2 একক হলে, (secX-tanX)-এর মান নির্ণয় করি।

5. সম্পর্কগুলি থেকে 'θ' অপনয়ন করি :

(i) x=2sinθ, y=3cosθ
(ii) 5x=3secθ, y=3tanθ
6. (i) যদি \(sin α = \cfrac{5}{13}\) হয়, তাহলে দেখাই যে \(tanα +secα = 1.5 \)
(ii) যদি tanA = \(\cfrac{n}{m}\) হয়, তাহলে sinA ও secA উভয়ের মান নির্ণয় করি।
(iii) যদি \(cosθ= \cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(xsinθ=ycosθ\)
(iv) যদি \(sin α = \cfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(cot α = \cfrac{2ab}{a^2-b^2}\)
(v) যদি \(\cfrac{sin θ}{x}=\cfrac{cos θ}{y}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(sin θ-cos θ = \cfrac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
(vi) যদি \((1+4x^2)cos A = 4x\) হয়, তাহলে দেখাই যে \(cosec A+cot A=\cfrac{1+2x}{1-2x}\)
7. যদি \(x=asinθ\) এবং \(y=btanθ\) হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, \(\cfrac{a^2}{x^2} -\cfrac{b^2}{y^2} =1\)
8. যদি \(sinθ +sin^2 θ=1\) হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, \(cos^2 θ+cos^4 θ=1\)

9. অতিসংক্ষিপ্র উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) যদি \(3x=cosecα \) এবং \(\cfrac{3}{x} = cot α\) হয়, তাহলে \(3(x^2-\cfrac{1}{x^2}) \) -এর মান

(a) \(\cfrac{1}{27}\) (b) \(\cfrac{1}{81}\) (c) \(\cfrac{1}{3}\) (d) \(\cfrac{1}{9}\)

(ii) যদি \(2x=secA\) এবং \(\cfrac{2}{x} =tanA\) হয়, তাহলে \(2(x^2-\cfrac{1}{x^2})\)-এর মান

(a) \(\cfrac{1}{2}\) (b) \(\cfrac{1}{4}\) (c) \(\cfrac{1}{8}\) (d) \(\cfrac{1}{16}\)

(iii) \(tanα + cotα = 2\) হলে, \(tan^{13} α + cot^{13} α \) -এর মান

(a) 1 (b) 0 (c) 2 (d) কোনোটিই নয়

(iv) যদি \(sinθ – cosθ = 0 (0°≤ θ ≤ 90°)\) এবং \(secθ + cosecθ = x\) হয়, তাহলে \(x\) -এর মান

(a) 1 (b) 2 (c) \(\sqrt2\) (d) \(2\sqrt2\)

(v) 2cos3θ = 1 হলে, θ -এর মান

(a) 10° (b) 15° (c) 20° (d) 30°

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি ।

(i) যদি, \(0° ≤ α ≤ 90°\) হয়, তাহলে \((sec^2 α + cos^2 α )\) -এর সর্বনিম্ন মান 2
(ii) (cos0°×cos1°×cos2°×cos3×............. cos90°) -এর মান 1

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি।

(i) \(\left(\cfrac{4}{\sec^2 \theta}+\cfrac{1}{1+\cot^2 \theta}+3 \sin^2 \theta \right)\) এর মান ____________
(ii) \(\sin(θ –30°) =\cfrac{1}{2}\) হলে, \(\cos θ\) -এর মান ___________
(iii) \(\cos^2 θ -\sin^2 θ = \cfrac{1}{2}\) হলে, \(\cos^4 θ – \sin^4 θ\) -এর মান __________

13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A)

(i) যদি \(r cos θ =2√3, r sin θ =2\) এবং \(0°<θ<90°\) হয়, তাহলে \(r\) এবং \(θ\) উভয়ের মান নির্ণয় করি।
(ii) যদি sinA+sinB=2 হয়, যেখানে 0°≤A≤90° এবং 0°≤B≤90°, তাহলে (cosA+cosB)-এর মান নির্ণয় করি।
(iii) যদি \(0°<θ<90°\) হয়, তাহলে \(9 \tan^2 θ+4 \cot^2 θ\)-এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করি।
(iv) \(\sin^6 α+\cos^6 α+3\sin^2 α \cos^2 α\)-এর মান নির্ণয় করি।
(v) যদি \(cosec^2 θ =2cot θ\) এবং \(0°<θ<90°\) হয়, তাহলে \(θ\) -এর মান নির্ণয় করি।

Will be available soon...

Will be available soon...