Welcome to Ganitsarani

1. নিচের বহুপদী সংখ্যামালা গুলির মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যা মালা বুঝে লিখি ।

(i) \(x^2-7x+2\)
(ii) \(7x^5-x(x+2)\)
(iii) \(2x(x+5)+5\)
(iv) \(2x-1\)

2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি \(ax^2+bx+c=0\),যেখানে \( a,b,c\) বাস্তবসংখ্যা এবং \(a\ne 0\) আকারে লেখা যায় তা লিখি।

(i) \( x-1+\cfrac{1}{x}=6,(x≠0)\)
(ii) \( x+\cfrac{3}{x}=x^2,(x≠0)\)
(iii) \( x^2-6√x+2=0\)
(iv) \( (x-2)^2=x^2-4x+4\)

3. \(x^6-x^3-2=0\) সমীকরণটির চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি ।
4. (i) \((a-2)x^2+3x+5=0\) সমীকরণটি \(a\) এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি ।

(a) \(a=0\) (b) \(a=2\) (c) \(a=4\) (d) \(a=-2\)

(ii) \(\cfrac{x}{4-x}=\cfrac{1}{3x} , (x≠0, x≠4)\)- কে \(ax^2\) \(+bx\) \(+c=0 (a≠0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে \(x\) এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি ।

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4

(iii) \(3x^2+7x+23=(x+4)(x+3)+2\) -কে \(ax^2\) \(+bx\) \(+c=0 (a≠0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি ।
(iv) \((x+2)^3=x(x^2-1)\) -কে \(ax^2+bx\) \(+c=0\) \( (a≠0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং \(x^2,x\) ও \(x^0\) - এর সহগ লিখি ।

5. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।

(i) 42 কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয় ।
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্বক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313

6. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।

(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি ।
(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কেজি চিনি ক্রয় করলেন । যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হত ।
(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি । একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল । ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘন্টা কম সময় লাগত ।
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন । তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হলো ।
(v) স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আস্তে 10 ঘন্টা সময় লাগে ।
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘন্টা বেশি সময় লাগে । তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘন্টায় শেষ করতে পারে ।
(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুনফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম ।
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার ।

1.নিচের প্রতি ক্ষেত্রে প্রদত্ত মান গুলি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হবে কিনা যাচাই করে লিখি ।

(i) \(x^2+x+1=0, 1\) ও \(-1\)
(ii) \(8x^2+7x=0, 0\) ও \(-2\)
(iii) \(x+ \cfrac{1}{x}=\cfrac{13}{6} ,\cfrac{5}{6}\) ও \(\cfrac{4}{3}\)
(iv) \(x^2-√3 x-6=0,-√3\) ও \(2√3\)

2. (i) \(k\) -এর কোন মানের জন্য \(7x^2+kx-3=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \(\cfrac{2}{3}\) হবে হিসাব করে লিখি ।

(ii) \(k\) -এর কোন মানের জন্য \(x^2+3ax+k=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \(-a\) হবে হিসাব করে লিখি ।

4. সমাধান করি ।

(i) \(3y^2-20=160-2y^2\)
(ii) \((2x+1)^2+(x+1)^2=6x+47\)
(iii) \((x-7)(x-9)=195\)
(iv) \(3x- \cfrac{24}{x}=\cfrac{x}{3} , x≠0\)
(v) \(\cfrac{x}{3}+\cfrac{3}{x}=\cfrac{15}{x} ,x≠0\)
(vi) \(10x-\cfrac{1}{x}=3,x≠0\)
(vii) \(\cfrac{2}{x^2} -\cfrac{5}{x}+2=0,x≠0\)
(viii) \(\cfrac{(x-2)}{(x+2)}+6\left(\cfrac{x-2}{x-6}\right)=1,x≠-2,6\)
(ix) \(\cfrac{1}{x-3}-\cfrac{1}{x+5}=\cfrac{1}{6} ,x≠3,-5\)
(x) \(\cfrac{x}{x+1}-\cfrac{x+1}{x}=2\cfrac{1}{12} ,x≠0,-1\)
(xi) \(\cfrac{ax+b}{a+bx}=\cfrac{cx+d}{c+dx} , \) \([a≠b,c≠d],\) \(x≠\cfrac{a}{b},-\cfrac{c}{d}\)
(xii) \((2x+1)+\cfrac{3}{2x+1}=4,x≠-\cfrac{1}{2}\)
(xiii) \(\cfrac{x+1}{2}+\cfrac{2}{x+1}=\cfrac{x+1}{3}\) \(+\cfrac{3}{x+1} \) \( -\cfrac{5}{6},x≠-1\)
(xiv) \(\cfrac{12x+17}{3x+1}-\cfrac{2x+15}{x+7}=\cfrac{31}{5} ,\) \(x≠-\cfrac{1}{3},\) \(-7\)
(xv) \(\cfrac{x+3}{x-3}+6\left(\cfrac{x-3}{x+3}\right)=5,x≠3,-3\)
(xvi) \(\cfrac{1}{a+b+x}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{x} ,\) \(x≠0,\) \(-(a+b)\)
(xvii) \(\left(\cfrac{x+a}{x-a}\right)^2-5\left(\cfrac{x+a}{x-a}\right)+6=0,x≠a\)
(xviii) \(\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{x+b}=\cfrac{1}{a}-\cfrac{1}{a+b} ,x≠0,-b\)
(xix) \(\cfrac{1}{(x-1)(x-2)}\) \(+\cfrac{1}{(x-2)(x-3)} \) \(+\cfrac{1}{(x-3)(x-4)}\) \(=\cfrac{1}{6} ,\) \( x≠1,2,3,4\)
(xx) \(\cfrac{a}{x-a}+\cfrac{b}{x-b}=\cfrac{2c}{x-c}, x\ne a,b,c\)
(xxi) \(x^2-(√3+2)x+2√3=0\)

1. দুটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি ।
2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুন অপেক্ষা 18 মিটার বেশি । ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 360 বর্গমিটার হলে, তার উচ্চতা নির্ণয় করি ।
3. যদি একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করি ।
4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি; একস্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘন্টা সময় কম লাগে । মোটর গাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটর গাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি ।
5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার । অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি ।
6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম । সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয় । সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি ।
7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে । নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি \(11\frac{ 1}{9}\) মিনিটে পূর্ণ হয় । যদি নলদুটি আলাদাভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয় । প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি ।
8. পর্ণা ও পীয়ূষ কোনো একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে । আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্ণার যে সময় লাগবে, পীয়ূষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে । পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে লিখি ।
9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরও 3 টি বেশি কলম পাওয়া যাবে । কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি।

10. অতিসংক্ষিপ্র উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা

(a) একটি (b) দুটি (c) তিনটি (d) কোনোটিই নয়

(ii) \(ax^2+bx+c=0\) দ্বিঘাত সমীকরণ হলে

(a) \(b≠0\) (b) \(c≠0\) (c) \(a≠0\) (d) কোনোটিই নয়

(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত:

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) কোনোটিই নয়

(iv) \(4(5x^2-7x+2)=5(4x^2-6x+3)\) সমীকরণটি:

(a) রৈখিক (b) দ্বিঘাত (c) ত্রিঘাত (d) কোনোটিই নয়

(v) \(\cfrac{x^2}{x}=6\) সমীকরণটির বীজ / বীজদ্বয়

(a) 0 (b) 6 (c) 0 ও 6 (d) -6

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি ।

(i) \((x-3)^2=x^2-6x+9\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।
(ii) \(x^2=25\) সমীকরণটির একটিমাত্র বীজ \(5\)

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি।

(i) যদি \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির \(a=0\) এবং \(b≠0\) হয়, তবে সমীকরণটি একটি ______ সমীকরণ।
(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো________
(iii) \(x^2=6x\) সমীকরণটির বীজদ্বয় ______ ও ______

11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A)

(i) \(x^2+ax+3=0\) সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় করি |
(ii) \(x^2-(2+b)x+6=0\) সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
(iii) \(2x^2+kx+4=0\) সমীকরণের একটি বীজ \(2\) হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অনোন্যক এর অন্তর \(\cfrac{9}{20}\) ; সমীকরণটি লিখি ।
(v) \(ax^2+bx+35=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় -5 ও -7 হলে, \(a\) এবং \(b\) এর মান লিখি।

1. (i) \(4x^2+(2x-1)(2x+1)=4x(2x-1)\) এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব কিনা বুঝে লিখি ।
(ii) শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পারি বুঝে লিখি ।
(iii) \(5x^2+2x-7=0\) এই সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে \(x=\cfrac{k±12}{10}\) পাওয়া গেলে \(k\) এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি ।

2.নীচের দ্বিঘাত সমীকরনগুলির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি ।

(i) \(3x^2+11x-4=0\)
(ii) \((x-2)(x+4)+9=0\)
(iii) \((4x-3)^2-2(x+3)=0\)
(iv) \(3x^2+2x-1=0\)
(v) \(3x^2+2x+1=0\)
(vi) \(10x^2-x-3=0\)
(vii) \(10x^2-x+3=0\)
(viii) \(25x^2-30x+7=0\)
(ix) \((4x-2)^2+6x=25\)

3. নিন্মলিখিত গাণিতিক সমস্যাগুলি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণে প্রকাশ করি এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে বা উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করি ।

(i) সাথি একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুন অপেক্ষা 6 সেমি বেশি । যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্যের থেকে 2 সেমি কম হয়, তবে সাথির আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।
(ii) যদি দুই অঙ্কের একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল 189 হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুন হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করি ।
(iii) সালমার গতিবেগ অণিকের গতিবেগের থেকে 1মি./সেকেন্ড বেশি। 180 মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অণিকের থেকে 2 সেকেন্ড আগে পৌছায়। অণিকের গতিবের প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার হিসাব করে লিখি।
(iv) আমাদের পাড়ায় একটি বর্গক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের থেকে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে 3 মি. কম প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ওই বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গ মিটার কম হলে বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।
(v) আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তার আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350 টি লঙ্কার চারা কিনলেন। সারি ধরে চারাগাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে, প্রতিটি সারিতে সারির সংখ্যা থেকে 24 টি করে বেশী গাছ লাগালে আরও 10 টি গাছ অতিরিক্ত থাকে । সারির সংখ্যা হিসাব করে লিখি।
(vi) জোসেফ এবং কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে। জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের চেয়ে 5 মিনিট কম সময় নেয়। 6 ঘন্টা কাজ করে জোসেফ, কুন্তলের চেয়ে 6 টি জিনিস বেশি তৈরি করে। কুন্তল ওই সময়ে কয়টি জিনিস তৈরি করে হিসাব করে লিখি।
(vii) স্থিরজলে একটি নৌকার গতিবেগ 8কিমি/ঘন্টা। নৌকাটি 5 ঘন্টায় স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি গেলে, স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।
(viii) একটি সুপারফাস্ট ট্রেন একটি এক্সপ্রেস ট্রেনের থেকে ঘন্টায় 15 কিমি বেশি বেগে যায়। একইসঙ্গে একটি স্টেশন থেকে ছেড়ে 180 কিমি দূরে অন্য একটি স্টেশনে সুপারফাস্ট ট্রেনটি 1 ঘন্টা আগে পৌছাল। সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় কত কিমি ছিল নির্ণয় করি।
(ix) রেহানা বাজারে গিয়ে দেখল প্রতি কিগ্রা মাছের যা দাম, ডালের দাম তা থেকে প্রতি কিগ্রা 20 টাকা কম এবং চালের দাম প্রতি কিগ্রা 40 টাকা কম। রেহানা 240 টাকার মাছ ও 240 টাকার ডাল কিনে মোট যে পরিমান মাছ ও ডাল পেল তা 280 টাকায় চাল কেনার পরিমানের সমান।রেহানা প্রতি কিগ্রা মাছ কী দামে কিনেছিল হিসাব করি।

1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি -

(i) \(2x^2+7x+3=0\)
(ii) \(3x^2-2\sqrt6 x+2=0\)
(iii) \(2x^2-7x+9=0\)
(iv) \(\cfrac{2}{5} x^2-\cfrac{2}{3} x+1=0\)

2. \(k\) এর কোন মান/ মানগুলির জন্য নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি -

(i) \(49x^2+kx+1=0\)
(ii) \(3x^2-5x+2k=0\)
(iii) \(9x^2-24x+k=0\)
(iv) \(2x^2+3x+k=0\)
(v) \(x^2-2(5+2k)x+3(7+10k)=0\)
(vi) \((3k+1)x^2+2(k+1)x+k=0\)

3.নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরন গঠন করি -

(i) 4,2
(ii) -4,-3
(iii) -4,3
(iv) 5,-3
4. \(m\) এর মান কত হলে, \(4x^2+4(3m-1)x+(m+7)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে ।
5. \((b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, \(2b=a+c\)
6. \((a^2+b^2)x^2+2(ac+bd)x+(c^2+d^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)
7. প্রমান করি যে, \(2(a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি \(a≠b\) হয় ।

8. \(5x^2+2x-3=0\) দ্বিঘাত সমীকরনের দুটি বীজ \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে,

(i) \(α^2+β^2\) (ii) \(α^3+β^3\) (iii) \(\cfrac{1}{α}+\cfrac{1}{β}\) (iv) \(\cfrac{α^2}{β}+\cfrac{β^2}{α}\) এর মান নির্ণয় করি ।
9. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির একটি বীজ অপর টির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে, \(2b^2=9ac\)
10. যে সমীকরণের বীজগুলি \(x^2+px+1=0\) সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।
11. \(x^2+x+1=0\) সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।

12. অতিসংক্ষিপ্র উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) \(x^2-6x+2=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি

(a) 2 (b) -2 (c) 6 (d) -6

(ii) \(x^2-3x+k=10\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল \(-2\) হলে, \(k\) এর মান

(a) -2 (b) -8 (c) 8 (d) 12

(iii) \(ax^2+bx+c=0(a≠0)\)সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, \(b^2-4ac\) হবে

(a) >0 (b) =0 (c) <0 (d) কোনোটিই নয়

(iv) \(ax^2+bx+c=0(a≠0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে,

(a) \(c=\cfrac{b}{2a}\) (b) \(c=-\cfrac{b}{2a}\) (c) \(c=- \cfrac{b^2}{4a}\) (d) \(c= \cfrac{b^2}{4a}\)

(v) \(3x^2+8x+2=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(α\) এবং \(β\) হলে, \(\left(\cfrac{1}{α}+\cfrac{1}{β}\right)\) এর মান

(a) \(-\cfrac{3}{8}\) (b) \(\cfrac{2}{3}\) (c) -4 (d) 4

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি ।

(i) \(x^2+x+1=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।
(ii) \(x^2-x+2=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি।

(i) \(7x^2-12x+18=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফলের অনুপাত___________
(ii) \(ax^2+bx+c=0(a≠0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, \(c=\)_____________
(iii) \(ax^2+bx+c=0(a≠0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্বক) হলে, \(a+c=\)____________

13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A)

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি ।
(ii) \(kx^2+2x+3k=0(k≠0)\)সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, \(k\) এর মান লিখি ।
(iii) \(x^2-22x+105=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(α\) এবং \(β\) হলে, \((α-β)\) এর মান লিখি ।
(iv) \(x^2-x=k(2x-1)\)সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, \(k\) এর মান লিখি ।
(v) \(x^2+bx+12=0\) এবং \(x^2+bx+q=0\) সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ \(2\) হলে, \(q\) এর মান লিখি ।

A. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো :

1. \(x^2−7x+3=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল (a) 7 (b) -7 (c) 3 (d) -3মাধ্যমিক-2020
2. \(x^4-2x^2+k\) রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে যখন \(k\) এর মান হবে : (a) \(\cfrac{1}{4}\) (b) 0 (c) \(\cfrac{1}{2}\) (d) 1মাধ্যমিক-2010

B. শূন্যস্থান পূরণ করো :

1. \((a - 2)x^2 + 3x + 5 = 0\) সমীকরণটি \(a\) -এর মান ______ এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না ।মাধ্যমিক-2018
2. \(ax^2+2bx+c=0(a≠0)\) , দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে \(b^2\) = _____ হবে ।মাধ্যমিক-2020
3. \(ax^2+bx+c=0\) দ্বিঘাত সমীকরণটির \(b^2 = 4ac\) হলে, বীজদ্বয় বাস্তব ও —— হবে ।মাধ্যমিক-2017

C. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন :

1. \(5x^2−2x+3=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি \(α\) ও \(β\) হলে \(\cfrac{1}{α}+\cfrac{1}{β}\) এর মান নির্ণয় করো ।মাধ্যমিক-2020
2. \(a\) -এর মান কত হলে \(36x^2 – 24x + a\) এটি পূর্ণবর্গ হবে?মাধ্যমিক-2009
3. \(x^2+x+1=0\) সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করো ।মাধ্যমিক-2019
4. \(x+\cfrac{9}{x}=6\) হলে \(x^2\)-এর সাংখ্যমান নির্ণয় করাে। মাধ্যমিক-2013
5. 50-কে এরূপ দুই অংশে বিভক্ত করাে যেন তাদের অন্যোন্যকের সমষ্টি \(\cfrac{1}{12}\) হয় ।মাধ্যমিক-2015, 2008
6. একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হলে, সংখ্যাটি কত ?মাধ্যমিক-2017
7. কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় 2, -3 হলে, সমীকরণটি লেখো ।মাধ্যমিক-2018
8. সমাধান করো: \(\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{1}{x}=0\)মাধ্যমিক-2008
9. সমাধান না করে \('p'\) -এর যে সকল মানের জন্য \(x^2 + (p - 3)x + p = 0\) সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ আছে তা নির্ণয় করো ।মাধ্যমিক-2017

D. রচনাধর্মী প্রশ্ন :

1. 16 কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করো যেন বৃহত্তর অংশের বর্গের দ্বিগুন ক্ষুদ্রতর অংশের বর্গের চেয়ে 164 বেশি ।মাধ্যমিক-2007
2. একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল 600 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 100 মিটার। পার্কটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করাে।মাধ্যমিক-2012
3. একটি আয়তাকার ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার । ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো । মাধ্যমিক-2006
4. একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের \(\cfrac{3}{2}\) গুন । মাঠটির দৈর্ঘ্য 1200 সেমি কম ও প্রস্থ 1200 সেমি বেশি হলে তা বর্গাকার মাঠে পরিনত হয় । মাঠটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো । মাধ্যমিক-2009
5. একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা থেকে তার ধনাত্মক বর্গমূল বিয়ােগ করলে 110 হয়, ধনাত্মক সংখ্যাটি নির্ণয় করাে।মাধ্যমিক-2014
6. একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার 5 গুণ ঐ সংখ্যাটির বর্গের দ্বিগুণের থেকে 3 কম। পূর্ণসংখ্যাটি নির্ণয়ের জন্য প্রয়ােজনীয় দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করাে। তারপর সমীকরণটি সমাধান করে পূর্ণসংখ্যাটি নির্ণয় করাে। মাধ্যমিক-2009
7. একটি ধনাত্মক সংখ্যার 3 গুণের সঙ্গে 9 যােগ করলে যােগফল সংখ্যাটির বর্গের দ্বিগুণের সঙ্গে সমান হয়। সংখ্যাটি নির্ণয় কর। মাধ্যমিক-2004
8. একটি বাগানে সারিবদ্ধভাবে চারাগাছ লাগানাে হয়েছে। প্রত্যেক সারিতে যতগুলি চারাগাছ আছে মােট সারির সংখ্যা তার থেকে 5 বেশি। যদি মােট 336টি চারাগাছ লাগানাে হয়ে থাকে তবে প্রত্যেক সারিতে কয়টি করে চারাগাছ লাগানাে হয়েছে?মাধ্যমিক-2013
9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কম হলে 30 টাকায় আরও তিনটি বেশি কলম পাওয়া যাবে । কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করো ।মাধ্যমিক-2019, 2023
10. কোন সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজটি উহার অবশিষ্ট দই বাহর মধ্যে একটি অপেক্ষা 6 সেমি এবং অন্যটি আপেক্ষা 12 সেমি বেশী। ত্রিভূজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো । মাধ্যমিক-2003
11. কোনো ক্লাবের তহবিলে 195 টাকা ছিল । এবং ক্লাবে যতজন সদস্য প্রত্যেকে তত টাকা চাঁদা দেওয়ার পর ক্লাবের মোট অর্থ ক্লাবের সকলের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করলে প্রত্যেকে 28 টাকা করে পাবে । ক্লাবের সদস্য সংখ্যা নির্ণয় কর । মাধ্যমিক-2010
12. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম । সংখ্যাটির এককের অঙ্ক কী কী হতে পারে ?মাধ্যমিক-2018
13. দুটি ক্রমিক ধনাত্বক যুগ্ম সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 340; সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর । মাধ্যমিক-2005
14. দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143 হলে সমীকরণটি গঠন করো এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে সংখ্যাটি দুটি নির্ণয় করো ।মাধ্যমিক-2020
15. দুটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার গুণফল 783 হলে সংখ্যা দুটি নির্ণয় করাে।মাধ্যমিক-2013
16. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি; একস্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘন্টা সময় কম লাগে । মোটর গাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটর গাড়ির গতিবেগ নির্ণয় করো ।মাধ্যমিক-2015
17. প্রতি কিগ্রা চালের দাম 1 টাকা বেড়ে যাওয়ায় নুটুবাবু 600 টাকায় আগের চেয়ে 1 কিগ্রা চাল কম কিনতে পারলেন। 1 কিগ্রা চালের পূর্বের দাম নির্ণয় করো । মাধ্যমিক-2011
18. শ্রী্ধর আচার্যের সূত্র প্রয়ােগ করে সমাধান করাে : \(3x^2-11x +8 = 0\)মাধ্যমিক-2010
19. সমাধান কর: \(\cfrac{1}{x−3}−\cfrac{1}{x+5}=\cfrac{1}{6}\)মাধ্যমিক-2020
20. সমাধান কর: \(\cfrac{x-2}{x+2}+6\left(\cfrac{x-2}{x-6}\right)=1\)মাধ্যমিক-2003
21. সমাধান কর: \(3x+2+\cfrac{3}{3x+2}=-4\)মাধ্যমিক-2004
22. সমাধান করাে : \((x – 7) (x – 9) = 195\)মাধ্যমিক-2012
23. সমাধান করো :
\(\cfrac{1}{a+b+x}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{x}\)
\([x≠0,−(a+b)]\)মাধ্যমিক-2017, 2022
24. সমাধান করো :
\(\left(\cfrac{x+4}{x−4}\right)^2−5\left(\cfrac{x+4}{x−4}\right)+6=0\) \((x≠4)\)মাধ্যমিক-2018
25. সমাধান করো :
\(\cfrac{1}{x-a+b}=\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\) মাধ্যমিক-2008
26. সমাধান করো: \((2x-1)+\cfrac{3}{2x-1}=4\)মাধ্যমিক-2011
27. সমাধান করো: \(\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{x+2}-\cfrac{1}{5}\)মাধ্যমিক-2013
28. সমাধান করো: \(\cfrac{x-3}{x+3}-\cfrac{x+3}{x-3}+6\cfrac{6}{7}=0\) \((x\ne-3,3)\)মাধ্যমিক-1995, 2023
29. সমাধান করো: \(\cfrac{x}{3}+\cfrac{3}{x}=4\cfrac{1}{4}\)মাধ্যমিক-2009, 1988
30. সমাধান করো: \(\cfrac{x}{x+1}+\cfrac{x+1}{x}=2\cfrac{1}{6}\)মাধ্যমিক-1980
31. সমাধান করো: \(\cfrac{x+5}{2-x}+2.\cfrac{2-x}{x+5}=3\)মাধ্যমিক-2007
32. সমাধান করো: \(3x-\cfrac{5}{3x+2}=2\)মাধ্যমিক-2006
33. সমাধান করো:
\(\cfrac{x+1}{2}+\cfrac{2}{x+1}=\cfrac{x+1}{3}+\cfrac{3}{x+1}-\cfrac{5}{6}\)মাধ্যমিক-2002
34. সমাধান করো:
\(\left(\cfrac{x-a}{x+a}\right)^2-5\left(\cfrac{x-a}{x+a}\right)+6=0\)মাধ্যমিক-1986
35. সমাধান করো∶ \(\cfrac{x}{x+1}+\cfrac{x+1}{x}=2\cfrac{1}{12}\) মাধ্যমিক-2014, 2009