1. \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হলে দেখাও \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}=1\) Madhyamik 2014 , 2005 , 2023

2. \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}+\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}=1\)

3. \(\cfrac{b+c}{a^2}=\cfrac{c+a}{b^2}=\cfrac{a+b}{c^2}=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}=1\)

4. \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}+\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}=1\)

5. \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}+\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}=1\)

6. \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}+\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}=1\)

7. যদি \(2x^2+3y^2∝xy\) তাহলে দেখাও \(x ∝ y\)

8. \(x∝ y\) এবং \(x ∝z\) হলে দেখাও যে \(x ∝ (y-z)\)

9. কোনো চোঙের আয়তন \(V\) ঘনএকক, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(S\) বর্গএকক উচ্চতা \(h\) একক এবং ভূমির ব্যাসার্ধ \(r\) একক হলে দেখাও যে, \(S = 2V\left(\cfrac{1}{h}+\cfrac{1}{r}\right)\)

10. \(x= \cfrac{√7+√3}{√7-√3}\) এবং \(xy=1\) হলে,দেখাও যে \(\cfrac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}=\cfrac{12}{11}\)

11. A=B = 30° হলে দেখাও যে, sinA cos B+cosA sinB= sin (A+B)

12. \( x∝yz\) এবং \(y∝zx\) হলে, দেখাও যে, \(z (≠ 0)\) একটি ধ্রুবক । Madhyamik 2017

13. \(x : a = y : b = z : c\) হলে, দেখাও যে, \((a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)\) \( = (ax + by + cz)^2\) Madhyamik 2018

14. \(x∝y^2\) এবং \(y=2a , x=a\) হলে দেখাও যে \(y^2=4ax\) । Madhyamik 2019

15. \(x:a=y:b=z:c\) হলে দেখাও \(\cfrac{x^3}{a^3}+\cfrac{y^3}{b^3}+\cfrac{z^3}{c^3}=\cfrac{3xyz}{abc}\) । Madhyamik 2020

16. যদি sin17\(^o\)=\(\cfrac{x}{y}\) হয়, তাহলে দেখাও sec17\(^o\)−sin73\(^o\)=\(\cfrac{x^2}{y\sqrt{y^2−x^2}}\) Madhyamik 2020

17. দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে \(h_1\) মিটার ও \(h_2\) মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভের গােড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° এবং প্রথমটির গােড়া থেকে দ্বিতীয়টির চুড়ার উন্নতি কোণ 45° হলে, দেখাও যে, \(h_1^2=3h_2^2\) Madhyamik 2016

18. \(\left(x^3-\cfrac{1}{y^3}\right)\propto \left(x^3+\cfrac{1}{y^3}\right)\) হলে, দেখাও যে\(x\propto \cfrac{1}{y}\) Madhyamik 2016

19. \(x=\cfrac{√7+√3}{√7-√3}\) এবং \( xy=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}=\cfrac{12}{11}\) Madhyamik 2015

20. যদি \(\cfrac {x}{y}\propto(x+y)\) এবং \(\cfrac {y}{x}\propto(x-y)\) হয়, তাহলে দেখাও \((x^2-y^2)\)= ধ্রুবক Madhyamik 2014

21. \(2x =\sqrt 5+1\) হলে দেখাও \(x^2-x-1= 0.\) Madhyamik 2014

22. \(a : b = b:c\) হলে দেখাও যে, \((a + b)^2:\) \( (b + c)^2 = a:c\) Madhyamik 2013

23. \(\cfrac{y+z-x}{b+c-a}=\cfrac{z+x-y}{c+a-b}=\cfrac{x+y-z}{a+b-c}\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\) Madhyamik 2008

24. \(\sin \theta=\cfrac{p^2-q^2}{p^2+q^2}\) হলে, দেখাও যে
\(\cot \theta=\cfrac{2pq}{p^2-q^2}\) \((p\gt q, 0°\lt \theta \lt 90°)\) Madhyamik 2008

25. A + B=90° হলে দেখাও যে, \(\tan A+\tan B\) \(=\cfrac{cosec^2 B}{\sqrt{cosec^2 B-1}}\) Madhyamik 2004

26. \(\cos \alpha=\cfrac{5}{13} \) এবং \(0°\lt \alpha \lt 90°\) হলে দেখাও যে, \(\cot \alpha +cosec \alpha =1.5\) Madhyamik 2004

27. \((1+m^2)x^2+2mcx+(c^2-a^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে, দেখাও যে, \(c^2=a^2(1+m^2)\)

28. যদি \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{a}{a+1}+\cfrac{b}{b+1}+\cfrac{c}{c+1}=2\)

29. \(x^2:(by+cz)=y^2:(cz+ax)=z^2:\) \((ax+by)=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{a}{a+x}+\cfrac{b}{b+y}\) \(+\cfrac{c}{c+z}=1\)

30. \(x \propto y\) এবং \(y \propto z\) হলে দেখাও যে, \(x + y \propto z\) হবে।

31. \(a\propto b, b\propto c\) হলে দেখাও যে, \(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\propto abc(a^3+b^3+c^3)\)

32. \(x= \cfrac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}}\) হলে দেখাও যে, \(x^2-2ax+1=0\)

33. \(a.b,c,d\) ক্রমিক সমানুপাতি হলে দেখাও যে, \((b-c)^2 +(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)

34. যদি \(x = \cfrac{1+sinθ}{cosθ}\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(x^2-2xtanθ-1=0\)

35. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)

36. \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে, \((a^2-b^2 )(c^2-d^2 )=(b^2-c^2 )^2\)

37. \(\cfrac{1}{x^3}+\cfrac{1}{y^3} \propto \cfrac{1}{x^3+y^3}\) হলে, দেখাও যে, \(x \propto y\)

38. \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে, \((a^2-b^2 )(c^2-d^2 )=(b^2-c^2 )^2\)

39. দুটি গােলকের আয়তনের অনুপাত 1:8 হলে দেখাও যে তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1:4 হবে।

40. \(\sqrt a, \sqrt b\) এবং \(\sqrt c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে, \((a+c)^2-b^2=a^2+b^2+c^2\)

41. \(x+y \propto x-y\) হলে দেখাও যে, \(ax+by \propto px+qy\)

42. \(a=\cfrac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3}\) এবং \(ab=1\) হলে দেখাও যে \(\cfrac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}=\cfrac{12}{11}\)

43. \((p+q)\propto (p-q)\) হলে দেখাও যে \((p^4+q^4)\) \(\propto (p^4-q^4)\)

44. \(x^2+7x+3=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় হলে \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে দেখাও যে,\(\alpha^3+\beta^3+7(\alpha^2+\beta^2)\) \(+3(\alpha+\beta)=0\)

45. \(a\propto b\) এবং \(b\propto c\) হলে দেখাও যে \(a^2+b^2+c^2 \propto ab+bc+ca\)

46. \(a:b=b:c\) হলে দেখাও যে, \(\left(\cfrac{a+b}{b+c}\right)^2=\cfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

47. \((a^2-bc)x^2+2(b^2-ca)x+(c^2-ab)=0\) বীজদ্বয় সমান হলে দেখাও যে \(b=0\) অথবা, \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

48. \(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}\propto \cfrac{1}{x+y}\) হলে দেখাও যে, \(x\propto y\)

49. \(x=\cfrac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}}{\sqrt{a+2b}-\sqrt{a-2b}}\) হলে দেখাও যে \(bx^2-ax+b=0\)

50. \(x=cy+bz, y=az+cx\) এবং \(z=bx+ay\) হলে দেখাও যে \(x^2:y^2=(1-a^2):(1-b^2)\)

51. \(a:b=b:c\) হলে দেখাও যে, \((a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2\)

52. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ \(r\) একক এবং উচ্চতা,\( R\) একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি গােলকের ব্যাসের \(\frac{2}{3}\) গুণ। উহাদের আয়তন সমান হলে, দেখাও \(r=R\)

53. \(ab+bc+ca=0\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{a^2-bc}+\cfrac{1}{b^2-ca}+\cfrac{1}{c^2-ab}=0\)

54. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির তিনগুণ হলে দেখাও যে, \(3b^2=16ac\)

55. \(a+b \propto \sqrt{ab}\) হলে দেখাও যে, \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\propto \sqrt{a}-\sqrt{b}\)

56. \(a\propto b\) এবং \(b\propto c\) হলে দেখাও যে \((pa+qb+rc) \propto (l\sqrt{bc}+m\sqrt{ca}+n\sqrt{ab})\)

57. \(x \propto y\) হলে দেখাও যে \((x+y)\propto (x-y)\)

58. \(a+c=2b\) এবং \(q^2=pr\) হলে দেখাও যে, \(p^{b-c}\cdot q^{c-a}\cdot r^{a-b}=1\)

59. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto (x+y)\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto (x-y)\) হয় তাহলে দেখাও যে \(x^2-y^2\) ধ্রুবক।

60. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)

61. \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে, \((a^2–b^2) (c^2-d^2)=(b^2–c^2)^2\)

62. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)

63. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)

64. \(\cfrac{x}{y}\propto x+y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x-y\) হয় তাহলে দেখাও যে \(x^2-y^2 =\) ধ্রুবক।

65. যদি \(\cfrac{1}{y}-\cfrac{1}{x}\propto \cfrac{1}{x-y}\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(x\propto y\)

66. \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে, \((a^2-b^2 )(c^2-d^2 )=(b^2-c^2 )^2\)

67. যদি \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{a+1}+\cfrac{1}{b+1}+\cfrac{1}{c+1}=1\)

68. \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে, \((a^2-b^2 )(c^2-d^2 )=(b^2-c^2 )^2\)

69. \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে, \((a^2-b^2 )(c^2-d^2 )=(b^2-c^2 )^2\)

70. যদি \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{a+1}+\cfrac{1}{b+1}+\cfrac{1}{c+1}=1\)

71. \(ax^2+bx+c=0 (a≠0)\) সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)

72. \(ax^2+bx+c=0 (a≠0)\) সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে \(2b^2=9ac\)

73. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)

74. \(x\propto y\) এবং \(y\propto z\) হলে, দেখাও যে \(\cfrac{x}{yz}+\cfrac{y}{zx}+\cfrac{z}{xy}\propto \cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\) Madhyamik 2023

75. \(\sin^2 α + \sin^2 β = 1\)

76. \(\cot β+\cos β=\cfrac{\cos β}{\cos α (1+\sin β)}\)

77. \(\cfrac{\sec α}{\cos α}-\cot^2 β=1\)