1. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির একটি বীজ অপর টির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে, \(2b^2=9ac\)
2. যদি দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+bx+c=0\) এর বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:r\) হয়, তবে দেখাই যে, \(\cfrac{(r+1)^2}{r}=\cfrac{b^2}{ac}\)
3. \(x=\cfrac{4ab}{a+b}\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+2a}{x-2a}+\cfrac{x+2b}{x-2b}=2\)
4. \(x=\cfrac{8ab}{a+b}\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+4a}{x-4a}+\cfrac{x+4b}{x-4b}=2\)
5. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির একটি বীজ অপর টির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে, \(2b^2=9ac\)
6. \(a:b=c:d\) হলে, দেখাই যে, \((a^2+b^2):(a^2-b^2)=(ac+bd):(ac-bd)\)
7. \(a:b=c:d\) হলে, দেখাই যে, \((a^2+ab+b^2): (a^2-ab+b^2)= (c^2+cd+d^2) : (c^2-cd+d^2)\)
8. \(a:b=c:d\) হলে, দেখাই যে, \(\sqrt{a^2+c^2} ∶ \sqrt{b^2+d^2 } = (pa+qc):(pb+qd)\)
9. যদি \(\cfrac{m}{a}=\cfrac{n}{b}\) হয়, তবে দেখাই যে, \((m^2+n^2)(a^2+b^2)=(am+bn)^2\)
10. যদি \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{x}{y}\) হয়, তবে দেখাই যে, \((a+b)(a^2+b^2 ) x^3=(x+y)(x^2+y^2 ) a^3\)
11. \(\cfrac{x}{lm-n^2}=\cfrac{y}{mn-l^2}=\cfrac{z}{nl-m^2}\) হয়, তবে দেখাই যে, \(lm-my+nz=0\)
12. \(\cfrac{x}{b+c-a}=\cfrac{y}{c+a-b}=\cfrac{z}{a+b-c}\) হলে দেখাই যে, \((b-c)x+(c-a)y+(a-b)z=0\)
13. \(\cfrac{x}{y}=\cfrac{a+2}{a-2}\) হলে দেখাই যে, \(\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\cfrac{4a}{a^2+4}\)
14. \(\cfrac{a}{q-r}=\cfrac{b}{r-p}=\cfrac{c}{p-q}\) হলে দেখাই যে, \(a+b+c \) \(= 0\) \( = pa+qb+rc\)
15. \(\cfrac{ax+by}{a}=\cfrac{bx-ay}{b}\) হলে দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত \(x\) এর সমান ।
16. যদি \(\cfrac{x}{b+c}=\cfrac{y}{c+a}=\cfrac{z}{a+b}\) হয়, দেখাই যে, \(\cfrac{a}{y+z-x}=\cfrac{b}{z+x-y} =\cfrac{c}{x+y-z}\)
17. \(\cfrac{x+y}{3a-b}=\cfrac{y+z}{3b-c}=\cfrac{z+x}{3c-a} \) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+y+z}{a+b+c}=\cfrac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\)
18. \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c} \) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x^2-yz}{a^2-bc}=\cfrac{y^2-zx}{b^2-ca}=\cfrac{z^2-xy}{c^2-ab} \)
19. \(x^2:(by+cz)=y^2:(cz+ax)=z^2:(ax+by)=1\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{a}{a+x}+\cfrac{b}{b+y}+\cfrac{c}{c+z}=1\)
20. \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b} =1\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b} +\cfrac{1}{1+c}=1\)
21. \(\cfrac{x}{xa+yb+zc}=\cfrac{y}{ya+zb+xc} =\cfrac{z}{za+xb+yc} \) এবং \(x+y+z≠0\) হলে, দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত \(\cfrac{1}{a+b+c}\) এর সমান।
22. \(x:a=y:b=z:c\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x^3}{a^3}+\cfrac{y^3}{b^3}+\cfrac{z^3}{c^3}=\cfrac{3xyz}{abc}\)
23. \(x=\cfrac{4ab}{a+b}\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+2a}{x-2a}+\cfrac{x+2b}{x-2b}=2\) [প্রদত্ত \(a\ne0, b\ne 0\) এবং \(a\ne b\)]
24. \(\cfrac{bz-cy}{b-c}=\cfrac{cx-az}{c-a}\) হলে, দেখাই যে, প্রত্যেকটি অনুপাত \(\cfrac{ay-bx}{a-b}\) এর সমান ।
25. যদি \(\cfrac{b}{a+b}=\cfrac{a+c-b}{b+c-a}=\cfrac{a+b+c}{2a+b+2c}\) হয়, (যেখানে \(a+b+c \ne0\)) তবে দেখাই যে, \(\cfrac{a}{2}=\cfrac{b}{3}=\cfrac{c}{4}\)
26. দেখাই যে, \(3\sqrt{48}-4\sqrt{75}+\sqrt{192}=0\)
27. যদি \(\sin 17°= \cfrac{x}{y}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(\sec 17°- \sin 73° \) \(= \cfrac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\)
28. ∠A+∠B= 90° হলে, দেখাই যে, \(1+ \cfrac{\tan A}{\tan B} = \sec^2 A\)
29. যদি ∠P+∠Q = 90° হয়, তবে দেখাই যে, \(\sqrt{\cfrac{\sin P}{\cos Q}-\sin P \cos Q}=\cos P\)
30. O কেন্দ্রীয় যে-কোনো একটি বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C যে-কোনো একটি বিন্দু। এবার A, C; B, C এবং O, C যুক্ত করে দেখাই যে, tan ∠ABC=cot ∠ACO