1. যদি \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় \(\cfrac{1}{2}\) অথবা \(-1\) । Madhyamik 2017 , 2011

2. কোনো গ্রহের তার উপগ্রহের উপর আকর্ষণ বল গ্রহের ভর (M) এর সঙ্গে সরলভেদে এবং তাদের দূরত্ব (D) এর বর্গের সাথে ব্যস্তভেদে আছে। আবার উপগ্রহের আবর্তনের পর্যায়কাল (T) এর বর্গ দূরত্বের সঙ্গে সরলভেদে এবং আকর্ষণ বলের সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। যদি \(m_1, d_1, t_1\) এবং \(m_2, d_2, t_2\), যথাক্রমে M, D, T এর দুই প্রস্থ অনুরূপ মান হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(m_1t_1^2 d_2^3 = m_2t_2^2 d_1^3\)

3. যদি \(\sum_{i=1}^n \) \(x_i-3=0\) এবং \(∑_{i=1}^n (x_i+3)=66\) হয়,তবে \(\bar{x}\) ও \(n\) এর মান নির্ণয় করো।

4. কোনো তথ্যসমূহের যদি \(∑_{i=1}^n (x_i-7)\) \(=-8\) এবং \(∑_{i=1}^n=(x_i+3)=72\) হয়, তবে \(\bar{x}\) ও \(n\) এর মান নির্ণয় করো।

5. যদি \(cosec^2 θ=2cotθ\) হয়, তবে \(θ\) এর মান নির্ণয় করো। [যেখানে 0°<θ<90°]

6. যদি \(cosθ = \cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(xsinθ = y cosθ\)

7. যদি \(rcosθ = 2√3\) , \(rsinθ =2\) এবং \(0°<θ<90°\) হয়, তবে \(r\) ,ও \(θ\) এর মান নির্ণয় করো। Madhyamik 2024

8. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের 10 সেমি ও 24 সেমি দৈর্ঘ্যের দুটি সমান্তরাল জ্যা AB এবং CD কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। যদি AB ও CD জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব 17 সেমি হয়, তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

9. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভূজ এবং O ওই বৃত্তের কেন্দ্র। যদি ∠COD=120° এবং ∠BAC=30° হয়, তবে ∠BOC ও ∠BCD এর মান নির্ণয় করো।

10. যদি \(cotθ=\cfrac{x}{y}\) হয়,তবে প্রমাণ করো যে, \(\cfrac{xcosθ-ysinθ}{xcosθ+ysinθ}=\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

11. তিন বন্ধু যথাক্রমে 1,20,000 টাকা, 1,50,000 টাকা ও 1,10,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করে । প্রথম জন ড্রাইভার ও বাকি দুজন কন্ডাক্টরের কাজ করে । তারা ঠিক করে যে সেই আয়ের \(\frac{2}{5}\) অংশ কাজের জন্য 3 : 2 : 2 অনুপাতে ভাগ করবে এবং বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেবে । কোনো এক মাসে যদি 29,260 টাকা আয় হয়, তবে কে কত টাকা পাবে নির্ণয় করো । Madhyamik 2020

12. যদি \(\cfrac{ay−bx}{c}=\cfrac{cx−az}{b}=\cfrac{bz−cy}{a}\) হয়, তবে প্রমাণ করো \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\) Madhyamik 2020 , 2003

13. কোনাে গােলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে আছে। যদি 3 সেমি., 4 সেমি. ও 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট গােলককে গলিয়ে একটি নতুন নিরেট গােলক তৈরি করা হয় এবং গলানাের ফলে যদি আয়তনের কোনাে পরিবর্তন না হয়, তবে নতুন গােলকটির বাস নির্ণয় করো । Madhyamik 2014

14. যদি \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) এবং \(a+b+c\ne 0\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(a=b=c\) Madhyamik 2007

15. যদি \(∑(x_i-3)=0\) এবং \(∑(x_i+3)=66\) হয়,তবে \(x ̅ \) ও \(n\) এর মান নির্ণয় করো।

16. যদি \(3x-4y∝ \sqrt{xy}\) হয়,তবে প্রমাণ করো, \(x^2+y^2∝xy\)

17. যদি \(a,b,c\) ও \(d\) ক্রমিক সমানুপাতী হয়,তবে প্রমাণ করো \((b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)

18. যদি বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার প্রথম বছর 4% এবং দ্বিতীয় বছর 5% হয়, তবে 25,000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করো।

19. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধ 3.2 ডেসিমি। সেই দন্ডটি গলিয়ে 21টি নিরেট গোলক তৈরী করা হল। গোলকগুলির ব্যাসার্ধ যদি 8 সেমি হয়, তবে দন্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

20. \(\triangle\)ABC এর শীর্ষবিন্দু A থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব অঙ্কন করা হলাে। যদি \(\frac{BD}{DA}=\frac{DA}{DC}\) হয়, তবে প্রমাণ করাে, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

21. যদি, \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয় তবে প্রমাণ করো যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা -1-এর সমান। Madhyamik 2024

22. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা 1 এর সমান।

23. 21 ডেসিমি দীর্ঘ, 11 ডেসিমি প্রশস্ত এবং 6 ডেসিমি গভীর একটি চৌবাচ্চা অর্ধেক ভাম্যপূর্ণ আছে। এখন সেই চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 100টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দেওয়া হয়, তবে জলতল কত ডেসিমি উঠবে তা নির্ণয় করো।

24. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা (-1) এর সমান।

25. যদি \(u_i=\cfrac{x_i-35}{10}\) ,\(∑f_i u_i=30\) এবং \(∑f_i=60\) হয়, তবে \(\bar{x}\) এর মান নির্ণয় করো।

26. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা (-1) এর সমান।

27. যদি \(\cfrac{ay−bx}{c}=\cfrac{cx−az}{b}=\cfrac{bz−cy}{a}\) হয়, তবে প্রমাণ করো \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\)

28. প্রমাণ করো, যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করে তবে স্পর্শবিন্দুটি ওই বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয় সংযোজক সরলরেখায় অবস্থিত হবে।

29. যদি \(\cfrac{ay−bx}{c}=\cfrac{cx−az}{b}=\cfrac{bz−cy}{a}\) হয়, তবে প্রমাণ করো \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\)

30. \(\triangle\)ABC-এর শীর্ষবিন্দু A থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব। যদি \(\frac{BD}{DA}=\frac{DA}{DC}\) তবে, প্রমাণ করো \(\triangle\)ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।