1. \(ax^2+bx+c=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান হলে, \(b^2-4ac\)-এর মান হবে
(a) >0 (b) <0 (c) 0 (d) কোনোটিই নয়
2. \(ax^2+bx+c=0\) দ্বিঘাত সমীকরণটির \(b^2 = 4ac\) হলে, বীজদ্বয় বাস্তব ও —— হবে । Madhyamik 2017
3. \(ax^2+bx+c=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ শূন্য হলে
(a) \(a=0\) (b) \(b=0\) (c) \(c=0\) (d) কোনটিই নয়।
4. যদি \(\alpha\) ও \(\beta\) , \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের দুটি বীজ হয়, তাহলে \(\cfrac{\alpha}{\beta}\) ও \(\cfrac{\beta}{\alpha}\) সেই সমীকরণের দুটি বীজ, সেই দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করাে।
5. \(ax^2+bx+c=0\) দ্বিঘাত সমীকরণ হলে
(a) \(b≠0\) (b) \(c≠0\) (c) \(a≠0\) (d) কোনোটিই নয়
6. \(x^2-bkx+5=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 5 হলে k এর মান হবে
(a) \(-\cfrac{1}{2}\) (b) -1 (c) 1 (d) 0
7. \((x+2)^3=x(x-1)^2\) সমীকরণটিকে \(ax^2+bx+c=0\) \( (a≠0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে \(x^0\)-এর সহগ হবে
(a) -8 (b) -1 (c) 3 (d) 8
8. একচলবিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় 2 এবং 7 হলে সমীকরণটি নির্ণয় করো।
9. কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় 2, -3 হলে, সমীকরণটি লেখো । Madhyamik 2018
10. \(ax^2+2bx+c=0(a≠0)\) , দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে \(b^2\) = _____ হবে । Madhyamik 2020
11. \(5x^2−2x+3=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি \(α\) ও \(β\) হলে \(\cfrac{1}{α}+\cfrac{1}{β}\) এর মান নির্ণয় করো । Madhyamik 2020
12. \((1+m^2)x^2+2mcx+(c^2-a^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে, দেখাও যে, \(c^2=a^2(1+m^2)\)
13. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজের সমষ্টি 7 এবং অন্তর 3 হলে, সমীকরণটি হবে –
(a) \(x^2–7x+3=0\) (b) \(x^2–7x-3=0\) (c) \(x^2–7x+10=0\) (d) \(x^2-7x+7=0\)
14. একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অন্যোন্যকের অন্তর \(\cfrac{9}{20}\) হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি গঠন করাে।
15. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির একটি বীজ অপর টির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে, \(2b^2=9ac\)
16. যদি দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+bx+c=0\) এর বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:r\) হয়, তবে দেখাই যে, \(\cfrac{(r+1)^2}{r}=\cfrac{b^2}{ac}\)
17. \(x^2-x=k(2x-1)\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে \(k\)-এর মান কত?
18. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)
19. \(2(a^2+b^2) x+2(a+b) x+1=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করাে যে, \(a = b\)।
20. যদি দ্বিঘাত সমীকরণে \(ax^2+bx+c=0\) বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:s\) হয় তবে দেখাও \(\cfrac{(s +1)^2}{s}=\cfrac{b^2}{ac}\)
21. \(x^2+ax+12=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, \(a\) -এর মান হবে
22. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে \((a\ne0)\)
(a) \(c=\cfrac{-b}{2a}\) (b) \(c=\cfrac{b}{2a}\) (c) \(c=\cfrac{b^2}{4a}\) (d) \(c=\cfrac{-b^2}{4a}\)
23. \(k\) এর মান কত হলে \(9x^2+3kx+4=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে লিখি ।
24. \((a^2+b^2)x^2+2(ac+bd)x+(c^2+d^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করাে, \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)
25. \((b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে। প্রমাণ করাে \(2b = a+c\)
26. \(3x^2–4x+k = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল 5 হলে \(k\) এর মান হবে -
(a) 5 (b) -12 (c) 15 (d) -20
27. \(3x^2+2x-5=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α এবং β হলে \(\cfrac{α^2}{β}+\cfrac{β^2}{α}\) = কত?
28. \((1+m^2)x^2+2mcx+(c^2-a^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে, প্রমাণ কর \(c^2=a^2(1+m^2)\)
29. \((p^2+q^2)x^2-2(pr+qs)x+(r^2+s^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমাণ করাে \(ps=qr\)
30. যদি দ্বিঘাত সমীকরণের \(ax^2+bx+c=0\) এর বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:r\) হয়, তবে দেখাও যে \((r+1)^2ac=b^2r\)
31. \(5x^2+2x+3=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে \(\cfrac{\alpha^2}{\beta}+\cfrac{\beta^2}{\alpha}\) এর মান নির্ণয় করাে।
32. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:p\) হলে, প্রমাণ করো যে, \(\cfrac{(p+1)^2}{p}=\cfrac{b^2}{ac}\)
33. \(7x^2+5x-4=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে \(\cfrac{\alpha^2}{\beta}+\cfrac{\beta^2}{\alpha}\) এর মান নির্ণয় করাে।
34. \(ax^2+bx+c=0\) \((a\ne0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে -
(a) \(c=\cfrac{-b}{2a}\) (b) \(c=\cfrac{b}{2a}\) (c) \(c=\cfrac{-b^2}{4a}\) (d) \(c=\cfrac{b^2}{4a}\)
35. \(5x^2+2x-3=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে \(\cfrac{\alpha^2}{\beta}+\cfrac{\beta^2}{\alpha}\) এর মান নির্ণয় করাে।
36. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির তিনগুণ হলে দেখাও যে, \(3b^2=16ac\)
37. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় \((-5), (-7)\) হলে, সমীকরণটি নির্ণয় করাে।
38. \(ax^2+bx+c=0 (a \ne 0)\), দ্বিঘাত সমীকরণে \(b^2=4ac\) হলে বীজদ্বয় বাস্তব ও _____ হবে।
39. \(4x^2+4(3m+1)x+(m-7)-20=0\) দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজ দুটি পরস্পর অনোন্যক হলে \(m\) -এর মান নির্ণয় করাে।
40. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের বীজ দুটি \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে \(\left(1+\cfrac{\alpha}{\beta}\right)\left(1+\cfrac{\beta}{\alpha}\right)\) -এর মান নির্ণয় করাে।
41. \((a^2+b^2)x^2-2(ac+bd)x\) \(+(c^2+a^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমাণ কর, \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)
42. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)
43. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)
44. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)
45. \(x^2-x=k(2x-1)\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সাংখ্যমান সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হলে, \(k\)-এর মান নির্ণয় করো।
46. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)
47. সমীকরণের বীজদ্বয় -4, 3 হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করো । Madhyamik 2022
48. দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি । একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল । ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘন্টা কম সময় লাগত ।
49. স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আস্তে 10 ঘন্টা সময় লাগে ।
50. \(3x^2+7x+23=(x+4)(x+3)+2\) -কে \(ax^2+bx+c=0\) \( (a≠0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি ।
51. যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো________
52. \(m\) এর মান কত হলে, \(4x^2+4(3m-1)x+(m+7)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে ।
53. \((b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, \(2b=a+c\)
54. \((a^2+b^2)x^2+2(ac+bd)x+(c^2+d^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)
55. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির একটি বীজ অপর টির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে, \(2b^2=9ac\)
56. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি ।
57. \(k\) এর মান কত হলে \(9x^2+3kx+4=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে লিখি ।
58. \((l+m^2)x^2+2mcx+(c^2-a^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি বাস্তব ও সমান হলে, প্রমান করি যে, \(c^2=a^2(l+m^2)\)
59. যদি \(ax^2+abcx+bc=0 (a\ne 0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপর বীজের অনোন্যক হয় তাহলে - Madhyamik 2024
(a) abc=1 (b) b=ac (c) bc=1 (d) a=bc
60. \(P\) এর মান কত হলে \((P-3)x^2-5x+10=0\) সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না । \(P= \) _____ Madhyamik 2024
61. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে যদি-
(a) \(c=0, a≠0\) (b) \(b=0, a≠0\) (c) \(c=0, a=0\) (d) \(b=0, a=0\)
62. \( ax^2+bx+c=0 \,(a\ne 0) \) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে
(a) \(c=\cfrac{-b}{2a}\) (b) \(c=\cfrac{b}{2a}\) (c) \(c= \cfrac{-b^2}{4a}\) (d) \(c = \cfrac{b^2}{4a}\)
63. \(5x^2+9x+3=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, \(\cfrac{1}{α}+\cfrac{1}{β}\) এর মান কত?
(a) 3 (b) -3 (c) \(\cfrac{1}{3}\) (d) -\(\cfrac{1}{3}\)
64. \(3x^2+8x+2=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, \((\cfrac{1}{α}+\cfrac{1}{β})\) এর মান –
(a) -\(\cfrac{3}{8}\) (b) \(\cfrac{2}{3}\) (c) -4 (d) 4
65. \(3x^2+8x+2=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(α\) ও \(β\) হলে \(\cfrac{1}{α}+\cfrac{1}{β}\) এর মান
(a) \(-\cfrac{3}{8}\) (b) \(\cfrac{2}{3}\) (c) -4 (d) 4
66. \(ax^2+bx+c=0 (a≠0) \) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে
(a) \(c =-\cfrac{b}{2a}\) (b) \(c =\cfrac{b}{2a}\) (c) \(c =-\cfrac{b^2}{4a}\) (d) \(c =\cfrac{b^2}{4a}\)
67. \(3x^2-5x+b=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল \(4\) হলে \(b\) এর মান হবে –
(a) \(\cfrac{5}{3}\) (b) \(\cfrac{3}{5}\) (c) 12 (d) -12
68. \(3x^2-6x+p=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে \(p\) এর মান
(a) \(\cfrac{5}{3}\) (b) -\(\cfrac{1}{3}\) (c) -3 (d) 3
69. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির একটি বীজ শূন্য হবার শর্ত –
(a) \(a=0\) (b) \(b=0\) (c) \(c=0\) (d) কোনোটিই নয়
70. কোন শর্তে \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ শূন্য হবে ? Madhyamik 2017
(a) \(a=0\) (b) \(b=0\) (c) \(c=0\) (d) কোনোটিই নয়
71. \(3x^2+(k-1)x+9=0\) দ্বিঘাত সমীকরনের একটি বীজ 3 হলে \(k\) এর মান হবে -
(a) -11 (b) 11 (c) 12 (d) 14
72. \((p+2)x^2-(p-3)x+3p-1=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে \(p\) এর মান কত ?
(a) -3 (b) 1 (c) 3 (d) কোনোটিই নয়
73. \(x^2-ax-15=0\) সমীকরণের একটি বীজ – 3 হলে \(a\) -এর মান কত?
(a) -2 (b) 2 (c) 3 (d) 0
74. \((b-c) x^2+(c-a)x+(a-b)=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করো- \(a+c=2b\)
75. \(x^2-3x+k=10\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল \(-2\) হলে \(k\)-এর মান কত?
76. \( x^2-6√x+2=0\) সমীকরণটি \(ax^2+bx+c=0\), যেখানে \(a,b,c\) বাস্তব সংখ্যা এবং \(a≠0\), আকারে লেখা যায় কিনা তা লিখি ।
77. \( (x-2)^2=x^2-4x+4\) সমীকরণটি \(ax^2+bx+c=0\), যেখানে \(a,b,c\) বাস্তব সংখ্যা এবং \(a≠0\), আকারে লেখা যায় কিনা তা লিখি ।
78. \(x^6-x^3-2=0\) সমীকরণটির চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি ।
79. \((a-2)x^2+3x+5=0\) সমীকরণটি \(a\) এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি ।
(a) \(a=0\) (b) \(a=2\) (c) \(a=4\) (d) \(a=-2\)
80. \(\cfrac{x}{4-x}=\cfrac{1}{3x} , (x≠0, x≠4)\)- কে \(ax^2\) \(+bx\) \(+c=0 (a≠0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে \(x\) এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি ।
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
81. \(3x^2+7x+23=(x+4)(x+3)+2\) -কে \(ax^2\) \(+bx\) \(+c=0 (a≠0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি ।
82. \((x+2)^3=x(x^2-1)\) -কে \(ax^2+bx\) \(+c=0\) \( (a≠0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং \(x^2,x\) ও \(x^0\) - এর সহগ লিখি ।
83. 1 ও -1 মানদুটি \(x^2+x+1=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই কর ।
84. \(0\) ও -\(2\) মানদুটি \(8x^2+7x=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই কর ।
85. \(\cfrac{5}{6}\) ও \(\cfrac{4}{3}\) মানদুটি \(x+ \cfrac{1}{x}=\cfrac{13}{6} \) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই কর ।
86. \(x^2-x = k(2x-1)\)সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে \(k\) এর মান কত?
87. \(x^2-3x+k=10\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল -2 হলে \(k\)-এর মান হবে ____।
88. \((a - 2)x^2 + 3x + 5 = 0\) সমীকরণটি \(a\) -এর মান ______ এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না । Madhyamik 2018
89. দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করনীদ্বয় ______ করণী । Madhyamik 2019
90. দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143 হলে সমীকরণটি গঠন করো এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে সংখ্যাটি দুটি নির্ণয় করো । Madhyamik 2020
91. একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার 5 গুণ ঐ সংখ্যাটির বর্গের দ্বিগুণের থেকে 3 কম। পূর্ণসংখ্যাটি নির্ণয়ের জন্য প্রয়ােজনীয় দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করাে। তারপর সমীকরণটি সমাধান করে পূর্ণসংখ্যাটি নির্ণয় করাে। Madhyamik 2009
92. \(ax^2+bx+c=0(a≠0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, \(c=\)_____________
93. \(3x^2-5x+b=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল 4 হলে \(b\) এর মান কত?
94. \(x^2-9=0\) একটি বিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ।
95. \(x^2-3x+5=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে \((\alpha+\beta)\left(\cfrac{1}{\alpha^2}+\cfrac{1}{\beta^2}\right)\) এর মান নির্ণয় করাে।
96. \(kx^2+2x+3k=0 (k\ne 0)\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে \(k\) এর মান কত ?
97. \(kx^2+4x+1 = 0\) সমীকরণটির বীজগুলি বাস্তব এবং অসমান হলে —
(a) \(k < 4\) (b) \(k > 4\) (c) \(k \le 4\) (d) \(k \ge 4\)
98. ফরিদাবিবি কয়েকটি বাক্সে কমলালেবু রাখতে গিয়ে দেখলেন যে তিনি যদি প্রত্যেকটি বাক্সে 20 টি কমলালেবু বেশি রাখেন তাহলে 3টি বাক্স কম লাগে। আবার তিনি যদি প্রত্যেকটি বাক্সে 5টি কমলালেবু কম রাখেন তাহলে 1টি বাক্স বেশি লাগে। সহসমীকরণ গঠন করে হিসাব করি ফরিদাবিবির কাছে কতগুলি কমলালেবু এবং কতগুলি বাক্স ছিল।
99. \(x^2–5x+k = 12\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল \(–3\) হলে, \(k\) এর মান
100. \(ax^2+bx+35=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় -5 ও -7 হলে, \(a\) এবং \(b\) এর মান লিখি।
101. \(x^2 - ax - 15 = 0\) সমীকরণের একটি বীজ \(-3\) হলে, \(a\)-এর মান হল-
(a) 1 (b) -1 (c) 2 (d) -2
102. \(x^2 - 2kx + 4 = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে \(k\)-এর মান নির্ণয় করাে-
(a) \(\pm 1\) (b) \(\pm 3\) (c) \(\pm 4\) (d) \(\pm 2\)
103. \(k\)-এর মান কত হলে \(x+\cfrac{k}{x}=2\) সমীকরণের একটি বীজ \(1\) হবে?
104. \(3x^2 + \sqrt2x + a = 0\) সমীকরণের একটি বীজ \(\sqrt2\) হলে, \(a\)-এর মান নির্ণয় করাে।
(a) 7 (b) -8 (c) 9 (d) 8
105. দুটি দ্বিঘাত করণীর যােগফল এবং গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে, করণীদ্বয় পরস্পর _____ করণী।
106. \(5x^2-3x+6=0\) সমীকরণের বীজদ্ধয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে \(\left(\cfrac{1}{\alpha}+\cfrac{1}{\beta}\right)\) এর মান নির্ণয় করো ।
107. যদি \(5x^2+13x+k=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় একটি অপরটির অনােন্যক হয়, তবে \(k\)-এর মান-
(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) -5
108. \(x^2+bx+12=0\) এবং \(x^2-bx+q=0\) সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ \(2\) হলে \(q\)-এর মান কত?
109. \(2x^2-3x+4=0\) দ্বিঘাত সমীকরনের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে \(\cfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha^{-1}+\beta^{-1}}\) এর মান কত ?
110. \((a-b)x^2+cx+2=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে যদি_____ হয়।
111. \(a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমাণ কর \(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{c}=\cfrac{2}{b}\)
112. \(p\)-এর মান কত হলে \(3x^2-px+3=0\) সমীকরণের একটি বীজ \(3\) হবে?
113. যে শর্তে \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পরের অনন্যোক হবে, তা হল-
(a) \(a=c\) (b) \(b^2=4ac\) (c) \(c=0\) (d) \(b^2-4ab\gt 0\)
114. প্রমাণ করি যে, \(x^2(a^2+b^2)\) \(+2(ac+bd)x\) \(+(c^2+d^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই, যখন \(ad\ne bc\).
115. \(x^2-3x+k=10\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল \(-2\) হলে \(k\)-এর মান
(a) -2 (b) -8 (c) 8 (d) 12
116. \(x^2+bx+12=0\) এবং \(x^2+bx+q=0\) সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ \(2\) হলে \(q\)-এর মান কত?
117. \(k\) -এর কোন মানের জন্য \(7x^2+kx-3=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \(\cfrac{2}{3}\) হবে ?
118. \(x^2+7x+3=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় হলে \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে দেখাও যে,\(\alpha^3+\beta^3+7(\alpha^2+\beta^2)\) \(+3(\alpha+\beta)=0\)
119. যদি \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির \(a=0\) এবং \(b\ne 0\) হয়, তবে সমীকরণটি একটি _____ সমীকরণ।
120. \(x^2-x = k(2x-1)\) এই সমীকরণের বীজদুটির যােগফল শূন্য হলে, বীজ দুটির গুণফল নির্ণয় করাে।
121. \(3x^2-8x+2=0\) সমীকরণের বীজদুটি \(\alpha , \beta\) হলে যে সমীকরণের বীজ \(\cfrac{\alpha}{\beta}\) ও \(\cfrac{\beta}{\alpha}\) সেটি নির্ণয় করাে।
122. \(x+\cfrac{1}{x}=1\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব হবে। [\(x \ne 0\)]
123. যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ ৪ এবং -2 সেই সমীকরণটি নির্ণয় করাে।
124. \(3x^2+8x+2=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) এবং \(\beta\) হলে \(\cfrac{1}{\alpha^2}+\cfrac{1}{\beta^2}\) এর মান নির্ণয় করাে।
125. দুটি দ্বিঘাত করণীর যােগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে, করণীদ্বয় অনুবন্ধী করণী।
126. \(x^2-x=k(2x-1)\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে \(k\) এর মান নির্ণয় করাে।
127. \(x^2-2x+k=8\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল \(-2\) হলে, \(k\) এর মান-
(a) -2 (b) 6 (c) 1 (d) -6
128. \(ax^2+bx+c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের উভয় বীজই শূন্য হবে, যখন
129. \(x^2-3x-10=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) এবং \(\beta\) হলে \(\alpha^2+\beta^2\)=?
130. যদি \(x^2+px+q=0\) দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজ দুটি \(\alpha\) ও \(\beta\) হয় তবে \(\alpha^3+\beta^3\) এর মান কত?
131. যদি \(ax^2+7x+b=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \(\cfrac{2}{3}\) ও \(-3\) হয় তবে \(a\) ও \(b\) -এর মান নির্ণয় করাে।
132. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরনটির দ্বিঘাত হওয়ার শর্ত হল
(a) \(a=0\) (b) \(a\ne 0\) (c) \(a=1\) (d) কোনােটিই নয়
133. \(x^6+5x^3+6=0\) সমীকরণটি \(x^3\) -এর সাপেক্ষে দ্বিঘাত।
134. \(3x^2-10x+3=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \(\cfrac{1}{3}\) হয়, তবে অপর বীজটি নির্ণয় করো।
135. \(x^2-x=k(2x-1)\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, \(k\)-এর মান নির্ণয় করো।
136. \(ax^2+bx+c=0 (a≠0)\) সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)
137. \(ax^2+bx+c=0 (a≠0)\) সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে \(2b^2=9ac\)
138. \(x^2-x=k(2x-1)\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 2 হলে, K-এর মান নির্ণয় করো। Madhyamik 2023
139. 42 কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয় ।
140. দুটি ক্রমিক ধনাত্বক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143
141. দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
142. একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি ।
143. এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কেজি চিনি ক্রয় করলেন । যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হত ।
144. একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন । তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হলো ।
145. আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘন্টা বেশি সময় লাগে । তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘন্টায় শেষ করতে পারে ।
146. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুনফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম ।
147. 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার ।
148. \(x^6-x^3-2=0\) সমীকরণটির চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি ।
149. \((a-2)x^2+3x+5=0\) সমীকরণটি \(a\) এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি ।
150. \(\cfrac{x}{4-x}=\cfrac{1}{3x}\) , \((x≠0, x≠4)\)- কে \(ax^2+bx+c=0 (a≠0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি ।
151. \((x+2)^3=x(x^2-1)\) -কে \(ax^2+\) \(bx+c=0\) \((a≠0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং \(x^2,x\) ও \(x^0\) - এর সহগ লিখি ।
152. \(x^2+x+1=0, 1\) ও \(-1\)
153. \(8x^2+7x=0, 0\) ও \(-2\)
154. \(x+ \cfrac{1}{x}=\cfrac{13}{6} ,\cfrac{5}{6}\) ও \(\cfrac{4}{3}\)
155. \(x^2-√3 x-6=0,-√3\) ও \(2√3\)
156. \(k\) -এর কোন মানের জন্য \(7x^2+kx-3=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \(\cfrac{2}{3}\) হবে হিসাব করে লিখি ।
157. \(k\) -এর কোন মানের জন্য \(x^2+3ax+k=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \(-a\) হবে হিসাব করে লিখি ।
158. যদি \(ax^2+7x+b=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \(\cfrac{2}{3}\) ও \(-3\) হয় তবে \(a\) ও \(b\) -এর মান নির্ণয় করি ।
159. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা
(a) একটি (b) দুটি (c) তিনটি (d) কোনোটিই নয়
160. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত:
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) কোনোটিই নয়
161. \((x-3)^2=x^2-6x+9\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।
162. যদি \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির \(a=0\) এবং \(b≠0\) হয়, তবে সমীকরণটি একটি ______ সমীকরণ।
163. \(x^2+ax+3=0\) সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় করি |
164. \(x^2-(2+b)x+6=0\) সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
165. \(2x^2+kx+4=0\) সমীকরণের একটি বীজ \(2\) হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
166. \(ax^2+bx+35=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় -5 ও -7 হলে, \(a\) এবং \(b\) এর মান লিখি।
167. \(2x^2+7x+3=0\)
168. \(3x^2-2\sqrt6 x+2=0\)
169. \(2x^2-7x+9=0\)
170. \(\cfrac{2}{5} x^2-\cfrac{2}{3} x+1=0\)
171. \(49x^2+kx+1=0\)
172. \(3x^2-5x+2k=0\)
173. \(9x^2-24x+k=0\)
174. \(2x^2+3x+k=0\)
175. \(x^2-2(5+2k)x+3(7+10k)=0\)
176. \((3k+1)x^2+2(k+1)x+k=0\)
177. 4,2
178. -4,-3
179. -4,3
180. 5,-3
181. প্রমান করি যে, \(2(a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি \(a≠b\) হয় ।
182. \(α^2+β^2\)
183. \(α^3+β^3\)
184. \(\cfrac{1}{α}+\cfrac{1}{β}\)
185. \(\cfrac{α^2}{β}+\cfrac{β^2}{α}\)
186. \(x^2-3x+k=10\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল \(-2\) হলে, \(k\) এর মান
187. \(ax^2+bx+c=0(a≠0)\)সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, \(b^2-4ac\) হবে
(a) >0 (b) =0 (c) <0 (d) কোনোটিই নয়
188. \(ax^2+bx+c=0(a≠0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে,
(a) \(c=\cfrac{b}{2a}\) (b) \(c=-\cfrac{b}{2a}\) (c) \(c=- \cfrac{b^2}{4a}\) (d) \(c= \cfrac{b^2}{4a}\)
189. \(3x^2+8x+2=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(α\) এবং \(β\) হলে, \(\left(\cfrac{1}{α}+\cfrac{1}{β}\right)\) এর মান
190. \(ax^2+bx+c=0(a≠0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, \(c=\)_____________
191. \(ax^2+bx+c=0(a≠0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্বক) হলে, \(a+c=\)____________
192. \(kx^2+2x+3k=0(k≠0)\)সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, \(k\) এর মান লিখি ।
193. \(x^2-22x+105=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(α\) এবং \(β\) হলে, \((α-β)\) এর মান লিখি ।
194. \(x^2-x=k(2x-1)\)সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, \(k\) এর মান লিখি ।
195. \(x^2+bx+12=0\) এবং \(x^2+bx+q=0\) সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ \(2\) হলে, \(q\) এর মান লিখি ।
196. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে 2 মিটার বেশি এবং ক্ষেত্রফল 24 বর্গ মিটার । একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।
197. \(k\) এর মান কত হলে \(x^2+kx+3=0\) দ্বিঘাত সমীকরনের একটি বীজ \(1\) হবে হিসাব করে লিখি ।
198. \(\cfrac{x}{3}+\cfrac{3}{x}=4\cfrac{1}{4}, (x\ne0)\) দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি ।
199. আমি \(\cfrac{a}{x-b}+\cfrac{b}{x-a}=2 (x\ne b,a)\) দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি ও বীজদ্বয় লিখি ।
200. আমি \(5x^2+23x+12=0\) দ্বিঘাত সমীকরণটির পূর্ণবর্গাকার প্রকাশ পদ্ধতিতে বীজদ্বয় নির্ণয় করি ।
201. আমি অন্যভাবে অর্থাৎ \(5x^2+23x\) \(+12=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষ ও ডানপক্ষকে 5 দিয়ে গুণ করে সমীকরনটি পূর্ণবর্গাকার প্রকাশ পদ্ধতিতে বীজদ্বয় নির্ণয় করি ।
202. প্রমাণ করি যে, \(x^2(a^2+b^2)\) \(+2(ac+bd)x\) \(+(c^2+d^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই, যখন \(ad\ne bc\).
203. যদি \(5x^2+13x+k=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় একটি অপরটির অনোন্যক হয়, তবে, \(k\)-এর মান হিসাব করে লিখি ।
204. \((√5+√3)(√5-√3)=25-x^2\) একটি সমীকরণ হলে,\(x\) –এর মান হিসাব করে লিখি ।
205. দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুনফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় _______ করণী ।