---

ধরি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে \(\alpha\) ও \(\beta\)
\(\therefore \alpha :\beta =1:r\)
বা, \(\cfrac{\alpha}{\beta}=\cfrac{1}{r}\)
বা, \(\beta=r\alpha\)

আবার, \(\alpha+\beta=-\cfrac{b}{a}\)
বা, \(\alpha+r\alpha=-\cfrac{b}{a}\)
বা, \(\alpha(1+r)=-\cfrac{b}{a}\)
বা, \(\alpha=-\cfrac{b}{a(r+1)}-----(i)\)

আবার, \(\alpha \beta=\cfrac{c}{a}\)
বা, \(\alpha \cdot r\alpha=\cfrac{c}{a}\)
বা, \(\alpha ^2=\cfrac{c}{ar}-----(ii)\)

\((i)\) নং সমীকরনের বর্গ এবং \((ii)\) নং সমীকরনদ্বয়ের তুলনা করে পাই,
\(\cfrac{b^2}{a^2(r+1)^2}=\cfrac{c}{ar}\)
বা,\(\cfrac{r}{(r+1)^2}=\cfrac{a^2c}{ab^2}\)
বা,\(\cfrac{r}{(r+1)^2}=\cfrac{ac}{b^2}\)
বা,\(\cfrac{(r+1)^2}{r}=\cfrac{b^2}{ac}\)
বা, \((r+1)^2ac=b^2r\)
বা, \(\cfrac{(r+1)^2}{r}=\cfrac{b^2}{ac}\) [প্রমানিত]