\(a:b=c:d\) হলে, দেখাই যে, \(\sqrt{a^2+c^2} ∶ \sqrt{b^2+d^2 } = (pa+qc):(pb+qd)\)
ধরি, \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}=k \) (যেখানে \(k≠0 \))
\(∴a=bk \) এবং \(c=dk \)
বামপক্ষ \(=\cfrac{\sqrt{a^2+c^2}}{\sqrt{b^2+d^2}} \)
\(=\cfrac{\sqrt{(bk)^2+(dk)^2 }}{\sqrt{b^2+d^2}} \)
\(=\cfrac{\sqrt{b^2 k^2+d^2 k^2}}{\sqrt{b^2+d^2}} \)
\(= \cfrac{\sqrt{k^2 (b^2+d^2)}}{\sqrt{b^2+d^2}} \)
\(=\cfrac{k\sqrt{b^2+d^2 }}{\sqrt{b^2+d^2}} \)
\(=k \)
ডানপক্ষ \(=\cfrac{pa+qc}{pb+qd} \)
\(=\cfrac{p×bk+q×dk}{pb+qd} \)
\(=\cfrac{pbk+qdk}{pb+qd} \)
\(=\cfrac{k(pb+qd)}{(pb+qd)} \)
\(=k \)
∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]