1. দেখাই যে, \(3\sqrt{48}-4\sqrt{75}+\sqrt{192}=0\)

2. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির একটি বীজ অপর টির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে, \(2b^2=9ac\)

3. যদি দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+bx+c=0\) এর বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:r\) হয়, তবে দেখাই যে, \(\cfrac{(r+1)^2}{r}=\cfrac{b^2}{ac}\)

4. \(x=\cfrac{4ab}{a+b}\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+2a}{x-2a}+\cfrac{x+2b}{x-2b}=2\)

5. \(x=\cfrac{8ab}{a+b}\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+4a}{x-4a}+\cfrac{x+4b}{x-4b}=2\)

6. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির একটি বীজ অপর টির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে, \(2b^2=9ac\)

7. \((a^2+b^2):(a^2-b^2)=(ac+bd):(ac-bd)\)

8. \((a^2+ab+b^2): (a^2-ab+b^2)= (c^2+cd+d^2) : (c^2-cd+d^2)\)

9. \(\sqrt{a^2+c^2} ∶ \sqrt{b^2+d^2 } = (pa+qc):(pb+qd)\)

10. যদি \(\cfrac{m}{a}=\cfrac{n}{b}\) হয়, তবে দেখাই যে, \((m^2+n^2)(a^2+b^2)=(am+bn)^2\)

11. যদি \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{x}{y}\) হয়, তবে দেখাই যে, \((a+b)(a^2+b^2 ) x^3=(x+y)(x^2+y^2 ) a^3\)

12. \(\cfrac{x}{lm-n^2}=\cfrac{y}{mn-l^2}=\cfrac{z}{nl-m^2}\) হয়, তবে দেখাই যে, \(lm-my+nz=0\)

13. \(\cfrac{x}{b+c-a}=\cfrac{y}{c+a-b}=\cfrac{z}{a+b-c}\) হলে দেখাই যে, \((b-c)x+(c-a)y+(a-b)z=0\)

14. \(\cfrac{x}{y}=\cfrac{a+2}{a-2}\) হলে দেখাই যে, \(\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\cfrac{4a}{a^2+4}\)

15. \(\cfrac{a}{q-r}=\cfrac{b}{r-p}=\cfrac{c}{p-q}\) হলে দেখাই যে, \(a+b+c = 0 = pa+qb+rc\)

16. \(\cfrac{ax+by}{a}=\cfrac{bx-ay}{b}\) হলে দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত \(x\) এর সমান ।

17. যদি \(\cfrac{x}{b+c}=\cfrac{y}{c+a}=\cfrac{z}{a+b}\) হয়, দেখাই যে, \(\cfrac{a}{y+z-x}=\cfrac{b}{z+x-y} =\cfrac{c}{x+y-z}\)

18. \(\cfrac{x+y}{3a-b}=\cfrac{y+z}{3b-c}=\cfrac{z+x}{3c-a} \) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+y+z}{a+b+c}=\cfrac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\)

19. \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c} \) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x^2-yz}{a^2-bc}=\cfrac{y^2-zx}{b^2-ca}=\cfrac{z^2-xy}{c^2-ab} \)

20. \(x^2:(by+cz)=y^2:(cz+ax)=z^2:(ax+by)=1\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{a}{a+x}+\cfrac{b}{b+y}+\cfrac{c}{c+z}=1\)

21. \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b} =1\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b} +\cfrac{1}{1+c}=1\)

22. \(\cfrac{x}{xa+yb+zc}=\cfrac{y}{ya+zb+xc} =\cfrac{z}{za+xb+yc} \) এবং \(x+y+z≠0\) হলে, দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত \(\cfrac{1}{a+b+c}\) এর সমান।

23. \(x:a=y:b=z:c\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x^3}{a^3}+\cfrac{y^3}{b^3}+\cfrac{z^3}{c^3}=\cfrac{3xyz}{abc}\)

24. দেখাই যে, \(\sqrt{98}+\sqrt{8}-2\sqrt{32}=\sqrt{2}\)

25. যদি \(\sin 17°= \cfrac{x}{y}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(\sec 17°- \sin 73° \) \(= \cfrac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\)

26. ∠A+∠B= 90° হলে, দেখাই যে, \(1+ \cfrac{\tan A}{\tan B} = \sec^2 A\)

27. যদি ∠P+∠Q = 90° হয়, তবে দেখাই যে, \(\sqrt{\cfrac{\sin P}{\cos Q}-\sin P \cos Q}=\cos P\)

28. tan ∠ABC=cot ∠ACO

29. \(\sin^2\)∠BCO+\(\sin^2\)∠ACO=1

30. cosec\(^2\)∠CAB-1=tan\(^2\)∠ABC

31. যদি \(cosθ= \cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(xsinθ=ycosθ\)

32. যদি \(sin α = \cfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(cot α = \cfrac{2ab}{a^2-b^2}\)

33. যদি \(\cfrac{sin θ}{x}=\cfrac{cos θ}{y}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(sin θ-cos θ = \cfrac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

34. \(sin^2 45° + cos^2 45° = 1\)

35. \(cos 60° = cos^2 30° – sin^2 30° \)

36. \(\cfrac{2 tan⁡ 30°}{1-tan^2⁡ 30°} = √3\)

37. \(\sqrt{\cfrac{1+cos⁡ 30°}{1-cos30°}} \) \(= sec60° + tan60°\)

38. \(\cfrac{2 tan^2⁡ 30°}{1-tan^2⁡ 30°} \) \(+ sec^245° \) \(- cot^2 45°\) \( = sec60°\)

39. \(tan^2 \cfrac{\pi}{4} sin⁡\cfrac{\pi}{3} tan⁡\cfrac{\pi}{6} tan^2⁡ \cfrac{\pi}{3}=1\cfrac{1}{2}\)

40. \(sin⁡ \cfrac{\pi}{3} tan⁡ \cfrac{\pi}{6}+sin⁡ \cfrac{\pi}{2} cos \cfrac{\pi}{3}=2 sin^2⁡ \cfrac{\pi}{4}\)

41. যদি cotθ=2 হয়, তাহলে tanθ ও secθ-এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, 1+tan\(^2\)θ = sec\(^2\)θ

42. cosθ =0.6 হলে, দেখাই যে, (5sinθ - 3tanθ) = 0

43. যদি \(cotA= \cfrac{4}{7.5}\) হয়, তাহলে \(cosA\) এবং \(cosecA\)-এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, \(1 + cot^2 A = cosec^2 A\)

44. \(x ∝ y\) হলে, দেখাই যে, \(x+y ∝ x-y \)

45. \(A∝\cfrac{1}{C} , C∝\cfrac{1}{B}\) হলে, দেখাই যে, \(A ∝ B\)

46. \(x^2+y^2∝xy \)

47. \(x^3+y^3∝x^3-y^3 \)

48. \(ax+by ∝ px+qy\) [যেখানে \(a, b, p,q\) অশূন্য ধ্রুবক]

49. \(a ∝ b, b ∝ c\) হলে দেখাই যে, \(a^3 b^3+b^3 c^3+c^3 a^3\) \(∝abc(a^3+b^3+c^3 )\)

50. \(x ∝ yz\) এবং \(y ∝ zx\) হলে, দেখাই যে, \(z\) একটি অশূন্য ধ্রুবক।

51. দেখাই যে, \(\cfrac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3}-\cfrac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3}=2\sqrt{15}\)

52. \(x=\cfrac{√7+√3}{√7-√3}\) এবং \(xy=1\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}= \cfrac{12}{11}\)