1. যদি \((b + c - a)x = (c + a - b)y\) \( = (a + b - c)z = 2\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\left(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}\right)\left(\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\right)\left(\cfrac{1}{z}+\cfrac{1}{x}\right)=abc\) Madhyamik 2017

2. যদি \(a+\cfrac{1}{b}=1\) এবং \(b +\cfrac{1}{c}= 1\) হয়,তবে দেখাও যে, \(c+\cfrac{1}{a} =1\)

3. যদি \(a,b,c\) ও \(d\) ক্রমিক সমানুপাতী হয়,তবে প্রমাণ করো \((b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)

4. যদি \(a^2=by+cz\), \(b^2=cz+ax\) এবং \(c^2=ax+by\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{x}{a+x}+\cfrac{y}{b+y}+\cfrac{z}{c+z}=1\) Madhyamik 2013

5. যদি \(a : b = b : c\) হয়, তবে দেখাও যে, \(abc (a+b+c)^3 = (ab + bc + ca)^3\) Madhyamik 2012

6. যদি \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{a}{a+1}+\cfrac{b}{b+1}+\cfrac{c}{c+1}=2\)

7. \(a.b,c,d\) ক্রমিক সমানুপাতি হলে দেখাও যে, \((b-c)^2 +(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)

8. যদি \(\cfrac{p}{q} \propto p+q\) এবং \(\cfrac{q}{p} \propto p-q\)- হয়, তবে দেখাও যে, \(p^2-q^2\)= ধ্রুবক ।

9. যদি \(cosθ = \cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(xsinθ = y cosθ\)

10. যদি \(cotθ=\cfrac{x}{y}\) হয়,তবে প্রমাণ করো যে, \(\cfrac{xcosθ-ysinθ}{xcosθ+ysinθ}=\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

11. যদি \(∠P+∠Q=90^o\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\sqrt{\cfrac{sinP}{cosQ}}−sinPcosQ=cos^2P\) Madhyamik 2019

12. যদি \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) এবং \(a+b+c\ne 0\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(a=b=c\) Madhyamik 2007

13. যদি \(a:b = b:c\) হয় তবে দেখাও যে, \(a^2 b^2 c^2 (\cfrac{1}{a^3} + \cfrac{1}{b^3} + \cfrac{1}{c^3}) = a^3+b^3+c^3\)

14. যদি \(cos A = sin B\) হয়, তবে \(cos(A + B)\) =?

(a) \(1\) (b) \(\cfrac{1}{2}\) (c) \(0\) (d) \(2\)

15. যদি দ্বিঘাত সমীকরণের \(ax^2+bx+c=0\) এর বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:r\) হয়, তবে দেখাও যে \((r+1)^2ac=b^2r\)

16. যদি \(\cfrac{a+b}{b+c}=\cfrac{c+d}{d+a}\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(c=a\) অথবা \(a+b+c+d=0\)

17. যদি \(\cfrac{bz+cy}{a}=\cfrac{cx+az}{b}=\cfrac{ay+bx}{c}\) হয় তবে প্রমান করো যে, \(\cfrac{x}{a(b^2+c^2-a^2)}\) \(=\cfrac{y}{b(c^2+a^2-b^2)}=\cfrac{z}{c(a^2+b^2-c^2)}\)

18. যদি \(a=\sqrt{x}+\cfrac{1}{\sqrt{x}}\) এবং \(b=\sqrt{x}- \cfrac{1}{\sqrt{x}}\) হয় তবে দেখাও যে, \(a^4+b^4-2a^2b^2=16\)

19. যদি \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{a+1}+\cfrac{1}{b+1}+\cfrac{1}{c+1}=1\)

20. যদি \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{a+1}+\cfrac{1}{b+1}+\cfrac{1}{c+1}=1\)

21. \((b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, \(2b=a+c\)

22. \((b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)

23. যদি \(\cfrac{m}{a}=\cfrac{n}{b}\) হয়, তবে দেখাই যে, \((m^2+n^2)(a^2+b^2)=(am+bn)^2\)

24. যদি \(\cfrac{a+b}{b+c}=\cfrac{c+d}{d+a}\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(c=a\) অথবা \(a+b+c+d=0\)

25. \( sin (A+B)=sin A cos B + cos A sin B \)

26. \( cos (A+B)=cos A cos B - sin A sin B \)

27. \((b-c) x^2+(c-a)x+(a-b)=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করো- \(a+c=2b\)

28. যদি \(x = \cfrac{√3+1}{√3-1}\) এবং \(y = \cfrac{√3-1}{√3+1}\) হয়, তবে দেখাও যে \(\cfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} =\cfrac{7√3}{12}\)

29. যদি \(α\) ও \(β\) দুটি পরস্পর পূরক কোণ হয়,দেখাও যে, \(\sqrt{\cfrac{tanα}{cotβ}+tanα.cotβ}= secα\)

30. যদি \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় \(\cfrac{1}{2}\) অথবা \(-1\) । Madhyamik 2017 , 2011

31. \(x : a = y : b = z : c\) হলে, দেখাও যে, \((a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)\) \( = (ax + by + cz)^2\) Madhyamik 2018

32. যদি \(\cfrac{b+c−a}{y+z−x}=\cfrac{c+a−b}{z+x−y}=\cfrac{a+b−c}{x+y−z}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে,\(\cfrac{a}{x}=\cfrac{b}{y}=\cfrac{c}{z}\) । Madhyamik 2019

33. △ABC -এর ∠C=90\(^o\), যদি BC = \(m\) এবং AC = \(n\) হয় তবে দেখাও যে, \(msinA+nsinB\) \(=\sqrt{m^2+n^2}\) Madhyamik 2019

34. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে দেখাও যে, প্রতিটি অনুপাতের মান হয় \(\cfrac{1}{2}\) না হয় -1 Madhyamik 2015

35. যদি \(\angle A+\angle B=90°\) হয়,তবে দেখাও যে, \(1+\cfrac{\tan A}{\tan B}=\tan^2 A \sec^2 B\) Madhyamik 2014 , 2011

36. \(x^2:(by+cz)=y^2:(cz+ax)=z^2:\) \((ax+by)=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{a}{a+x}+\cfrac{b}{b+y}\) \(+\cfrac{c}{c+z}=1\)

37. যদি \(b+c=a^2\), \(c+a=b^2\), \(a+b=c^2\) হয় তাহলে \(\cfrac{1}{1+a} +\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}\) এর মান নির্ণয় কর ।

(a) 2 (b) \(\infty\) (c) 0 (d) 1

38. যদি \(a+b+c=0\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\cfrac{bc}{2a^2+bc}+\cfrac{ca}{2b^2+ca}+\cfrac{ab}{2c^2+ab}=1\)

39. যদি দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+bx+c=0\) এর বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:r\) হয়, তবে দেখাই যে, \(\cfrac{(r+1)^2}{r}=\cfrac{b^2}{ac}\)

40. যদি \(a+\cfrac{1}{b}=1\) এবং \(b+\cfrac{1}{c}=1\) হয়, তাহলে \((c+\cfrac{1}{a})\) এবং \((abc + 1)\)-এর মান নির্ণয় করাে।

(a) 1 এবং 0 (b) 0 এবং 1 (c) 0 এবং 0 (d) 1 এবং 1

41. যদি দ্বিঘাত সমীকরণে \(ax^2+bx+c=0\) বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:s\) হয় তবে দেখাও \(\cfrac{(s +1)^2}{s}=\cfrac{b^2}{ac}\)

42. \((b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে। প্রমাণ করাে \(2b = a+c\)

43. যদি \(acosθ + bsinθ = 4\) এবং
\(asinθ - bcosθ = 3\) হয়, তাহলে \(a^2 + b^2\) = ?

(a) 7 (b) 12 (c) 25 (d) 32

44. \(\sqrt a, \sqrt b\) এবং \(\sqrt c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে, \((a+c)^2-b^2=a^2+b^2+c^2\)

45. যদি \(a=\cfrac{1}{2+\sqrt3}\) এবং \(b=\cfrac{1}{2-\sqrt3}\) হয়, তবে \(\cfrac{1}{a+1}+\cfrac{1}{b+1}\) এর মান কত ?

46. যদি \(x=\cfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}\) এবং \(xy=1\) হয়, তবে \(3x^2-5xy+3y^2\) এর মান কত?

47. \((a^2-bc)x^2+2(b^2-ca)x+(c^2-ab)=0\) বীজদ্বয় সমান হলে দেখাও যে \(b=0\) অথবা, \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

48. যদি \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির \(a=0\) এবং \(b\ne 0\) হয়, তবে সমীকরণটি একটি _____ সমীকরণ।

49. \(a:b=b:c\) হলে দেখাও যে, \((a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2\)

50. \(a \propto b^2\) ও \(1+b \propto 6\) এবং যদি \(a=1\) হলে \(c=9\) ও \(b =5\) হয় c -এর মান নির্ণয় করাে।

51. যদি \(a : b = b : c\) হয়, তবে প্রমাণ করো \(\cfrac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3}=1\) Madhyamik 2022

52. যদি \(a =\cfrac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\) এবং \(ab = 1\) হয়, তবে \(\left(\cfrac{a}{b}+\cfrac{b}{a}\right)\) - এর মান নির্ণয় করো। Madhyamik 2022

53. \(\left(\cfrac{a+b}{b+c}\right)^2=\cfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

54. \(a^2b^2c^2\left(\cfrac{1}{a^3} +\cfrac{1}{b^3} +\cfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3\)

55. \(\cfrac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3} =1\)

56. যদি \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{x}{y}\) হয়, তবে দেখাই যে, \((a+b)(a^2+b^2 ) x^3=(x+y)(x^2+y^2 ) a^3\)

57. \(\cfrac{x}{b+c-a}=\cfrac{y}{c+a-b}=\cfrac{z}{a+b-c}\) হলে দেখাই যে, \((b-c)x+(c-a)y+(a-b)z=0\)

58. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto x+y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x-y\) হয়, তবে দেখাই যে \(x^2-y^2\) = ধ্রুবক।

59. যদি ∠P+∠Q = 90° হয়, তবে দেখাই যে, \(\sqrt{\cfrac{\sin P}{\cos Q}-\sin P \cos Q}=\cos P\)

60. যদি \(sin α = \cfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(cot α = \cfrac{2ab}{a^2-b^2}\)

61. যদি cotθ=2 হয়, তাহলে tanθ ও secθ-এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, 1+tan\(^2\)θ = sec\(^2\)θ

62. যদি \(cotA= \cfrac{4}{7.5}\) হয়, তাহলে \(cosA\) এবং \(cosecA\)-এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, \(1 + cot^2 A = cosec^2 A\)

63. যদি \(cot\alpha=tan(\beta+\gamma) \) হয়, তবে \(sin(\alpha+\beta+\gamma)\)= কত ?

(a) 1 (b) \(\cfrac{\sqrt3}{2}\) (c) 0 (d) \(\cfrac{1}{2}\)

64. যদি \(cos\theta + sin\theta = \sqrt2 cos\theta\) হয় তবে \(sin\theta – cos\theta\) = ?

(a) \(\sqrt2 sin\theta\) (b) \(-\sqrt2 sin\theta\) (c) \(-\sqrt2 cos\theta\) (d) কোনোটিই নয়

65. যদি, \(cot\alpha=tan(\beta+\gamma)\) হয়, তবে, \(sin(\alpha+\beta+\gamma)\) এর মান কি ?

(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) \(\cfrac{3}{4}\)

66. যদি \((u^2+v^2) ∝(x^2+y^2) \) এবং \(uv∝xy\) হয় তবে দেখাও যে \((u+v)∝(x+y)\) যখন \(\cfrac{u}{v}+\cfrac{v}{u}\) \(=\cfrac{x}{y}+\cfrac{y}{x}\)

67. কোনো তথ্যসমূহের যদি \(∑_{i=1}^n (x_i-7)\) \(=-8\) এবং \(∑_{i=1}^n=(x_i+3)=72\) হয়, তবে \(\bar{x}\) ও \(n\) এর মান নির্ণয় করো।

68. যদি sinA+sin2B+sin3C =3 হয়, তবে (A+2B+3C)-এর মান কত?

69. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু ও চোঙ উভয়ের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান। যদি শঙ্কুর উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \(h\) ও \(r\) এবং চোঙের উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ \(H\) ও \(r\) তবে দেখাও যে \(h^2=(2H+r)(2H-r)\)

70. যদি, \(a= \cfrac{√5+1}{√5-1},b=\cfrac{√5-1}{√5+1}\) হয় তবে \(\cfrac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2} \) এর মান কত?

71. যদি \(bcx=cay=abz\) হয়, তবে প্রমান কর যে, \(\cfrac{ax+by}{a^2+b^2}=\cfrac{by+cz}{b^2+c^2}=\cfrac{cz+ax}{c^2+a^2}\) Madhyamik 2016 , 2004

72. যদি \(\angle A+\angle B\) = 90° হয়, তবে প্রমাণ করাে\(1+\cfrac{tan A}{tan B} = cosec^2 B \) Madhyamik 2015

73. যদি \(\cfrac{by+cz}{b^2+c^2}=\cfrac{cz+ax}{c^2+a^2}=\cfrac{ax+by}{a^2+b^2}\) হয়, তবে প্রমান করো যে, \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\) Madhyamik 2015

74. \(a : b = b:c\) হলে দেখাও যে, \((a + b)^2:\) \( (b + c)^2 = a:c\) Madhyamik 2013

75. যদি \(a(\tan\theta+\cot \theta)=1\), \(\sin\theta+\) \(\cos\theta=b\) হয়, তবে প্রমান করো \(2a=b^2-1\), \((0°\lt \theta \lt 90°)\) Madhyamik 2009

76. যদি \(\cfrac{x^2-yz}{a}=\cfrac{y^2-zx}{b}=\cfrac{z^2-xy}{c}\) হয়, তবে প্রমান করো যে \((a+b+c)(x+y+z)\) \(=ax+by+cz\) Madhyamik 2006

77. ABC ত্রিভূজের A স্থূলকোণ; যদি \(\sec (B+C)=2\) এবং \(\sin(2B-C)=\cfrac{1}{2}\) হয়, তবে A,B,C এর পরিমাপ কত ? Madhyamik 2004

78. \(a,b,c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমান কর যে, \((a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2\) Madhyamik 2008

79. \((1+m^2)x^2+2mcx+(c^2-a^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে, দেখাও যে, \(c^2=a^2(1+m^2)\)

80. যদি \(x =\cfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\) এবং \(xy=1\) হয়, প্রমাণ করাে যে, \(\cfrac{x^2}{y}+\cfrac{y^2}{x}\) এর সরলতম মান 52

81. যদি, \(x=cy+bz, y=az+cx\) এবং \(z=bx+ay\) হয় তবে প্রমান কর যে, \(\cfrac{x^2}{1-a^2}=\cfrac{y^2}{1-b^2}=\cfrac{z^2}{1-c^2}\)

82. \(\cfrac{a}{y+z}=\cfrac{b}{z+x}=\cfrac{c}{x+y}\) হলে প্রমান করো যে, \(\cfrac{a(b-c)}{y^2-z^2}=\cfrac{b(c-a)}{z^2-x^2}=\cfrac{c(a-b)}{x^2-y^2}\)

83. যদি \(a = \cfrac{√5+1}{√5-1}\) ও \(b = \cfrac{√5-1}{√5+1}\) হয় তবে, \(\cfrac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}\) এর মান নির্ণয় কর ।

84. যদি \(x = \cfrac{1+sinθ}{cosθ}\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(x^2-2xtanθ-1=0\)

85. যদি \(x =\cfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\) এবং \(xy=1\) হয়, প্রমাণ করাে যে, \(\cfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = \cfrac{7\sqrt{3}}{12}\)

86. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)

87. যদি \(x^2+px+12=0\)-র একটি বীজ \(2\) হয়, এবং \(x^2+px+q=0\)-র বীজ দুটি সমান হয় তবে \(q\)-র মান নির্ণয় করাে।

88. যদি \(x=\cfrac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}}{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}}\) হয়, তবে \(bx^2-ax+b\) -এর মান নির্ণয় করাে।

(a) 1 (b) \(0\) (c) 3 (d) 4

89. যদি \(x = a cosθ\) এবং \(y = b sinθ\) হয়, তাহলে \(b^2 x^2 + a^2 y^2\) = ?

(a) \(a^2b^2\) (b) \(ab\) (c) \(a^4b^4\) (d) \(a^2+b^2\)

90. যদি \(cotθ = \cfrac{15}{8}\) হয়, তাহলে
\(\cfrac{(2+2sinθ)(1-sinθ)}{(1+cosθ)(2-2cosθ)}\)-এর মান কত ?

(a) \(0\) (b) \(225\) (c) \(64\) (d) \(\cfrac{225}{64}\)

91. \(a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমাণ কর \(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{c}=\cfrac{2}{b}\)

92. প্রমাণ করি যে, \(x^2(a^2+b^2)\) \(+2(ac+bd)x\) \(+(c^2+d^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই, যখন \(ad\ne bc\).

93. যদি \(h, c, v\) যথাক্রমে একটি শঙ্কুর উচ্চতা, বক্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন হয়, তবে প্রমাণ করাে \(3\pi vh^3-c^2h^2+9v^2=0\)

94. \(a:b=b:c\) হলে দেখাও যে, \(\left(\cfrac{a+b}{b+c}\right)^2=\cfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

95. যদি \(3x^2+8x+2=0 \) সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হয়, তবে যে-সমীকরণের বীজদ্বয় \(\cfrac{1}{\alpha}\) ও \(\cfrac{1}{\beta}\), তার সমীকরণ নির্ণয় কর।

96. \(ab+bc+ca=0\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{a^2-bc}+\cfrac{1}{b^2-ca}+\cfrac{1}{c^2-ab}=0\)

97. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির তিনগুণ হলে দেখাও যে, \(3b^2=16ac\)

98. যদি \(x =\cfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\) এবং \(y =\cfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\) হয়, প্রমাণ করাে যে, \(\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \cfrac{12}{7\sqrt{3}}\)

99. যদি \((3a-2b):(a+2b)\) হয়, তবে \(a:b=?\)

100. যদি \(\alpha\) ও \(\beta\) , \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের দুটি বীজ হয়, তাহলে \(\cfrac{\alpha}{\beta}\) ও \(\cfrac{\beta}{\alpha}\) সেই সমীকরণের দুটি বীজ, সেই দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করাে।

101. যদি \(\cfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\cfrac{1}{2}\) হয় তবে দেখাও যে \(\cfrac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}=\cfrac{91}{73}\)

102. \(a:b=c:d\) হলে, প্রমান করো যে, \((a^2+c^2)(b^2+d^2)=(ab+cd)^2\)

103. যদি \(a=\cfrac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\)এবং \(b =\cfrac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\) হয় তবে, \(\cfrac{a^2+5ab+b^2}{a^2-5ab+b^2}=?\)

104. \(a:b=b:c\) হয়, তবে প্রমাণ করাে যে \(a^2b^2c^2\left(\cfrac{1}{a^3}+\cfrac{1}{b^3}+\cfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3\)

105. যদি \(ax^2+7x+b=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \(\cfrac{2}{3}\) ও \(-3\) হয় তবে \(a\) ও \(b\) -এর মান নির্ণয় করাে।

106. \(a+c=2b\) এবং \(q^2=pr\) হলে দেখাও যে, \(p^{b-c}\cdot q^{c-a}\cdot r^{a-b}=1\)

107. \(x=\cfrac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}}{\sqrt{a+2b}-\sqrt{a-2b}}\) হয় তবে দেখাও যে, \(bx^2-ax+b=0\)

108. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)

109. যদি,
\((a+b+c)x=(b+c-a)y\) \(=(c+a-b)z=(a+b-c)w\) হয়, প্রমান করঃ \(\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}+\cfrac{1}{w}=\cfrac{1}{x}\)

110. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা 1 এর সমান।

111. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা (-1) এর সমান।

112. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)

113. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)

114. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা (-1) এর সমান।

115. \(\cfrac{a}{1-a}+\cfrac{b}{1-b}+\cfrac{c}{1-c}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{1-a}+\cfrac{1}{1-b}+\cfrac{c}{1-c}=4\)

116. \(ax^2+bx+c=0 (a≠0)\) সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)

117. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)

118. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা (-1) এর সমান।

119. যদি \(ax^2+7x+b=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \(\cfrac{2}{3}\) ও \(-3\) হয় তবে \(a\) ও \(b\) -এর মান নির্ণয় করি ।

120. যদি \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির \(a=0\) এবং \(b≠0\) হয়, তবে সমীকরণটি একটি ______ সমীকরণ।

121. \((a^2+b^2)x^2+2(ac+bd)x+(c^2+d^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)

122. প্রমাণ করি যে, \(x^2(a^2+b^2)\) \(+2(ac+bd)x\) \(+(c^2+d^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই, যখন \(ad\ne bc\).

123. \((a^2+ab+b^2): (a^2-ab+b^2)= (c^2+cd+d^2) : (c^2-cd+d^2)\)

124. \((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2\)

125. \((a^2+c^2+e^2)(b^2+d^2+f^2)=(ab+cd+ef)^2\)

126. \((a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2\)

127. \(x^2:(by+cz)=y^2:(cz+ax)=z^2:(ax+by)=1\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{a}{a+x}+\cfrac{b}{b+y}+\cfrac{c}{c+z}=1\)

128. \(\cfrac{a}{y+z}=\cfrac{b}{z+x}=\cfrac{c}{x+y} \) হলে, প্রমাণ করি যে, \(\cfrac{a(b-c)}{y^2-z^2}=\cfrac{b(c-a)}{z^2-x^2}=\cfrac{c(a-b)}{x^2-y^2} \)

129. \(a:b=c:d\) হলে, প্রমান করি যে, \((a^2+c^2)(b^2+d^2)=(ab+cd)^2\)

130. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা (-1) এর সমান।

131. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে,\(\angle\)AOD + \(\angle\)BOC = 2\(\angle\)BPC যদি \(\angle\)AOD ও \(\angle\)BOC পরস্পর সম্পূরক হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব।

132. \(\cot β+\cos β=\cfrac{\cos β}{\cos α (1+\sin β)}\)

133. যদি \(\tan θ=\cfrac{3}{4}\) হয়, তবে দেখাই যে \(\sqrt{\cfrac{1-sinθ}{1+sinθ}}=\cfrac{1}{2}\)

134. যদি \(cosθ= \cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(xsinθ=ycosθ\)

135. যদি \(sinθ +sin^2 θ=1\) হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, \(cos^2 θ+cos^4 θ=1\)

136. ∆ABC-এর শীর্ষবিন্দু B ও C থেকে AC ও AB (AC > AB) বাহুদুটির উপর দুটি লম্ব অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC\(^2\) + BP\(^2\) = AB\(^2\) + CP\(^2\)

137. \(\cfrac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}\)

138. \(\cfrac{(a-b)^3}{(a+b)^3}\)

139. \(\cfrac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}\)

140. \(\cfrac{a^3+b^3}{a^3-b^3}\)

141. যদি \(tan 9^o =\cfrac{a}{b}\) হয়, তবে প্রমান কর যে, \(\cfrac{sec^2 81^o}{1+cot^2 81^o} =\cfrac{b^2}{a^2}\) Madhyamik 2017

142. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে যদি-

(a) \(c=0, a≠0\) (b) \(b=0, a≠0\) (c) \(c=0, a=0\) (d) \(b=0, a=0\)

143. \((x+2)^3=x(x-1)^2\) সমীকরণটিকে \(ax^2+bx+c=0\) \( (a≠0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে \(x^0\)-এর সহগ হবে

(a) -8 (b) -1 (c) 3 (d) 8

144. যদি \(x =\sqrt{ 7 + 4√3}\) হয়, তাহলে \(x-\cfrac{1}{x}\) এর মান হবে-

(a) 2 (b) 2√3 (c) 4 (d) 2-√3

145. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB এবং CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে। যদি \(\angle\)APC = 40° হয়, তাহলে \(\angle\)AOC+\(\angle\)BOD =

(a) 60° (b) 80° (c) 120° (d) কোনোটিই নয়

146. যদি \(2 + b√3 =\cfrac{ 1}{2+√3}\) হয়, তাহলে \(b\)=?

(a) 1 (b) -1 (c) 0 (d) 2

147. একটি সমকোণী চৌপলের কৌণিক বিন্দুর সংখ্যা \(a\) , প্রান্তরেখার সংখ্যা \(b\) এবং তলের সংখ্যা \(c\) হলে, \(2a-b+3c\)=কত?

(a) 16 (b) 18 (c) 20 (d) 22

148. \(a=3+2\sqrt2\) হলে
\(\cfrac{a^6+a^4+a^2+1}{a^3}\) এর মান কত ?

(a) 100 (b) 200 (c) 204 (d) 250

149. যদি \(3 cos\theta - 4 sin\theta = 5\) হয় তবে \(3sin\theta + 4cos\theta\) -এর মান কত?

(a) 1 (b) 2 (c) 0 (d) \(\cfrac{1}{2}\)

150. যদি \(x=\cfrac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{a^2-b^2}}\) হয়, তবে -

(a) \(b^2x^2-2a^2x-b^2=0\) (b) \(b^2x^2-2a^2x+b^2=0\) (c) \(b^2x^2+2a^2x+b^2=0\) (d) কোনোটিই নয়

151. যদি \(x=7+4\sqrt3\) হয়, তবে, \(\cfrac{x^3}{x^6+7x^3+1}\) এর মান নির্ণয় কর ।

(a) \(\cfrac{1}{2737}\) (b) \(\cfrac{1}{2730}\) (c) \(\cfrac{1}{2710}\) (d) \(\cfrac{1}{2709}\)

152. যদি \(\sum_{i=1}^n \) \(x_i-3=0\) এবং \(∑_{i=1}^n (x_i+3)=66\) হয়,তবে \(\bar{x}\) ও \(n\) এর মান নির্ণয় করো।

153. যদি \(a+b=3\) এবং \(a – b = √5\) হয় তবে \(ab\) এর মান নির্ণয় করো।

154. কোনো চোঙের আয়তন \(V\) ঘনএকক, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(S\) বর্গএকক উচ্চতা \(h\) একক এবং ভূমির ব্যাসার্ধ \(r\) একক হলে দেখাও যে, \(S = 2V\left(\cfrac{1}{h}+\cfrac{1}{r}\right)\)

155. \(\cfrac{x}{4-x}=\cfrac{1}{3x} , (x≠0, x≠4)\)- কে \(ax^2\) \(+bx\) \(+c=0 (a≠0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে \(x\) এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি ।

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4

156. \(3x^2+7x+23=(x+4)(x+3)+2\) -কে \(ax^2\) \(+bx\) \(+c=0 (a≠0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি ।

157. \(a,b,c,d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমাণ করো, \((a^2+b^2+c^2 )(b^2+c^2+d^2 )\)

\(=(ab+bc+cd)^2\)

158. \(cos⁡(A+B)=1\) হলে, \(tan⁡(A+B)=\)____।

159. দেখাও যে,
\(\cfrac{2 tan^2⁡30°}{1-tan^2⁡30°} + sec^2⁡45° - cot^2⁡45° \) \(= sec60°\)

160. A=B = 30° হলে দেখাও যে, sinA cos B+cosA sinB= sin (A+B)

161. যদি \(sin18° = \cfrac{x}{y}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(sec⁡18°-sin⁡72°=\cfrac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\)

162. △ABC -এর ∠A সমকোণ এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা হলে, প্রমাণ করো যে, 5BC\(^2\)=4(BP\(^2\)+CQ\(^2\)) Madhyamik 2019

163. \(ax^2+2bx+c=0(a≠0)\) , দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে \(b^2\) = _____ হবে । Madhyamik 2020

164. যদি \(\cos 52°=\cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তবে \(\tan 38°\) - এর মান কত ? Madhyamik 2016

165. ABCD একটি আয়তক্ষেত্র এবং O আয়তক্ষেত্রটির অভ্যন্তরে যে কোনো একটি বিন্দু। প্রমাণ করাে যে, OA\(^2\) + OC\(^2\) = OB\(^2\) + OD\(^2\) Madhyamik 2016

166. \(x=\cfrac{√7+√3}{√7-√3}\) এবং \( xy=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}=\cfrac{12}{11}\) Madhyamik 2015

167. যদি \(\cfrac {x}{y}\propto(x+y)\) এবং \(\cfrac {y}{x}\propto(x-y)\) হয়, তাহলে দেখাও \((x^2-y^2)\)= ধ্রুবক Madhyamik 2014

168. \(a : b = c : d\) হলে প্রমাণ করাে যে \((a^2 + c^2)(b^2+d^2) = (ab+cd)^2\) Madhyamik 2010

169. দেখাও যে, \(cosec^2 22° \cot^268° = \sin^2 22°\) \( + \sin^2 68° + \cot^2 68°\) Madhyamik 2009

170. যদি \(\sec\theta=cosec\phi\) হয় যেখানে \(\theta, \phi\) সূক্ষ্মকোণ , তাহলে \(cosec(\theta+\phi)\) -এর মান কত হবে? Madhyamik 2009

171. \(\cfrac{y+z-x}{b+c-a}=\cfrac{z+x-y}{c+a-b}=\cfrac{x+y-z}{a+b-c}\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\) Madhyamik 2008

172. \(a, b, c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমান করো যে, \(\cfrac{1}{b^2}=\cfrac{1}{b^2-a^2}+\cfrac{1}{b^2-c^2}\) Madhyamik 2007

173. যদি \(x=\cfrac{2\sqrt{15}}{\sqrt5+\sqrt3}\) হয়, তবে \(\cfrac{x+\sqrt3}{x-\sqrt3}\) \(+\cfrac{x+\sqrt5}{x-\sqrt5}\) - এর মান নির্ণয় কর । Madhyamik 2005

174. A + B=90° হলে দেখাও যে, \(\tan A+\tan B\) \(=\cfrac{cosec^2 B}{\sqrt{cosec^2 B-1}}\) Madhyamik 2004

175. \(\cos \alpha=\cfrac{5}{13} \) এবং \(0°\lt \alpha \lt 90°\) হলে দেখাও যে, \(\cot \alpha +cosec \alpha =1.5\) Madhyamik 2004

176. \(a, b, c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমাণ কর যে, \(a^2b^2c^2\left(\cfrac{1}{a^3}+\cfrac{1}{b^3}+\cfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3\) Madhyamik 2003

177. ABC একটি বৃত্তস্থ সমবাহু ত্রিভূজ । যদি A বিন্দুর বিপরীত পার্শ্বে BC চাপের ওপর P যেকোনো একটি বিন্দু হয়, তবে প্রমান কর যে, AP=BP+CP Madhyamik 2002

178. \(ax^2+bx+c=0(a≠0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, \(c=\)_____________

179. যদি \(2+b\sqrt3=\cfrac{1}{2+\sqrt3}\) হয়, তাহলে \(b\) এর মান \(-1\) ।

180. যদি \(x=\cfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\)এবং \(y =\cfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\) হয় তবে, \(\cfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\) -এর সরলতম মান নির্ণয় করাে

181. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto x+y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x – y\) হয়, তবে দেখাও যে, \((x^2 –y^2)\) একটি ধ্রুবক রাশি।

182. \(a:b=b:c\) হলে প্রমাণ করাে \((a+b+c) (a-b+c) = a^2+b^2+c^2\)

183. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির একটি বীজ অপর টির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে, \(2b^2=9ac\)

184. যদি \(\cot \theta=\cfrac{x}{y}\) হয়, তবে \(\cfrac{x\cos\theta-y\sin\theta}{x\cos\theta+y\sin\theta}\) এর মান হয় -

(a) \(\cfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\) (b) \(\cfrac{x^2}{x^2-y^2}\) (c) \(\cfrac{x^2}{x^2-y^2}\) (d) \(\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

185. যদি \(\tan\theta=\cos 30^o+\sin 60^o\) হয় তবে \(\sin(90^o-\theta)\) এর মান হবে -

(a) \(\cfrac{1}{3}\) (b) \(\cfrac{1}{4}\) (c) \(\cfrac{1}{2}\) (d) \(1\)

186. যদি sinA+sinB=2 হয়, যেখানে 0°≤ A≤ 90° এবং 0°≤B≤ 90°, তাহলে (cos A+ cos B)-এর মান নির্ণয় করো।

187. যদি \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} = 1\) হয় তাহলে \(a^3 + b^3\) -এর মান

(a) \(1\) (b) \(a\) (c) \(b\) (d) \(0\)

188. \(a\propto (b+c), b\propto (c+a), c\propto (a+b)\) এবং \(k, l, m\) যথাক্রমে অশূন্য ভেদ ধ্রুবক হলে, \(\cfrac{k}{k+1} + \cfrac{l}{l+1} + \cfrac{m}{m+1} =\) কত?

(a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7

189. যদি \(x(2+\sqrt{3})=y(2-\sqrt{3})=1\) হয়, তাহলে, \(\cfrac{1}{x+1}+\cfrac{1}{y+1}\) -এর মান হবে—

(a) \(1\) (b) \(\sqrt{3}\) (c) \(2\sqrt{3}\) (d) \(2\)

190. যদি \(∑(x_i-3)=0\) এবং \(∑(x_i+3)=66\) হয়,তবে \(x ̅ \) ও \(n\) এর মান নির্ণয় করো।

191. \(a, b, c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করো যে, \(\cfrac{1}{b}=\cfrac{1}{b-a}+\cfrac{1}{b-c}\) Madhyamik 2024

192. \(a:b = c:d\) হলে, প্রমাণ করো \((a^2+c^2 )(b^2+d^2 )=(ab+cd)^2\)

193. \(x=\cfrac{4ab}{a+b}\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+2a}{x-2a}+\cfrac{x+2b}{x-2b}=2\)

194. \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}+\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}=1\)

195. \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে, \((a^2-b^2 )(c^2-d^2 )=(b^2-c^2 )^2\)

196. যদি \(\theta\) একটি ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ এবং \(sin\theta = cos(2\theta + 15°)\) হয়, তাহলে \(\theta\) -এর মান :

(a) 30° (b) 25° (c) 60° (d) 90°

197. যদি \(a+b= \sqrt{5}\) এবং \(ab= \sqrt{3}\) হয়, তাহলে \((a^2+b^2)\) এর মান __।

198. \((a^2+b^2)x^2+2(ac+bd)x+(c^2+d^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করাে, \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)

199. যদি \(x=2, y=3\) এবং \(z=6\) হয়, তবে,
\(\cfrac{3√x}{√y+√z}-\cfrac{4√y}{√z+√x}+\cfrac{√z}{√x+√y}\) -এর মান হিসাব করে লিখি ।

200. \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে, \((a^2-b^2 )(c^2-d^2 )=(b^2-c^2 )^2\)

201. যদি \(p(x) = x^2 + 2x - 3\) হয়, তবে \(p(2)\)-এর মান-

(a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7

202. যদি \(cosθ = \cfrac{3}{5}\) হয়, তাহলে \(cotθ+ cosecθ\)-এর মান কত ?

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4

203. যদি \(sinθ = \cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}; 0°< θ < 90°\) হয়, তাহলে \(tanθ\)-এর মান কত ?

(a) \(\cfrac{b}{a}\) (b) \(b^2\) (c) \(\cfrac{a}{b}\) (d) \(\cfrac{a^2}{b^2}\)

204. যদি \(tanθ = \cfrac{1}{\sqrt7}\) হয়, তাহলে
\(\cfrac{cosec^2θ - sec^2θ}{cosec^2θ + sec^2θ}\)-এর মান কত ?

(a) \(\cfrac{3}{4}\) (b) \(\cfrac{1}{4}\) (c) \(\cfrac{2}{3}\) (d) \(\cfrac{1}{7}\)

205. \(cosec A=\sqrt2\) হলে,
\(\cfrac{2sin^2A+3cot^2A}{4tan^2A-cos^2A}\)-এর মান কত?

(a) \(\cfrac{8}{7}\) (b) \(\cfrac{7}{8}\) (c) \(\cfrac{1}{8}\) (d) \(\cfrac{1}{7}\)

206. \(A + B + C = 180°\) হয়, তবে \(sin\cfrac{A+B}{2}\)=?

(a) \(sin\cfrac{C}{2}\) (b) \(cos\cfrac{C}{2}\) (c) \(cos A+B\) (d) \(sin\cfrac{A}{2}\)

207. যদি \(a \propto b\) এবং \(b\propto c\) হয় তবে দেখাও যে, \(a+b+c \propto 5abc\)

208. যদি \(5x^2+13x+k=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় একটি অপরটির অনােন্যক হয়, তবে \(k\)-এর মান-

(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) -5

209. \((a-b)x^2+cx+2=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে যদি_____ হয়।

210. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:p\) হলে, প্রমাণ করো যে, \(\cfrac{(p+1)^2}{p}=\cfrac{b^2}{ac}\)

211. \(a=\cfrac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3}\) এবং \(ab=1\) হলে দেখাও যে \(\cfrac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}=\cfrac{12}{11}\)

212. যদি \(x=\cfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}\) এবং \(y=\cfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}\) হয় তবে প্রমান করো : \(x^2-xy+y^2=97\)

213. \(a=3+2\sqrt2\) হলে \(\cfrac{a^6+a^4+a^2+1}{a^3}=?\)

214. \(x=\cfrac{8ab}{a+b}\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+4a}{x-4a}+\cfrac{x+4b}{x-4b}=2\)

215. \(ax^2+bx+c=0, (a \ne 0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অনোন্যক হবে যদি

(a) \(a=b\) (b) \(a=c\) (c) \(b=c\) (d) \(b^2=4ac\)

216. \(a:b=3:2\) এবং \(b:c=3:2\) হলে \((a+b):(b+c) =\)_____

217. দেখাও যে, \(\cfrac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3}-\cfrac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3}=2\sqrt{15}\)

218. \(3x^2-10x+3=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \(\cfrac{1}{3}\) হয়, তবে অপর বীজটি নির্ণয় করো।

219. \((a^2+b^2)x^2-2(ac+bd)x\) \(+(c^2+a^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমাণ কর, \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)

220. যদি, \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয় তবে প্রমাণ করো যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা -1-এর সমান। Madhyamik 2024

221. ‘O' আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে যে কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করো যে, OA\(^2\)+OC\(^2\)=OB\(^2\)+OD\(^2\)

222. যদি \(\alpha, \beta\) \(3x^2+8x+2=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় হয় তবে\( \cfrac{1}{\alpha}+\cfrac{1}{\beta}\) এর মান হবে –

(a) \(-\cfrac{3}{8}\) (b) 4 (c) \(\cfrac{2}{3}\) (d) -4

223. যদি, \(\cfrac{a^3+3ab^2}{b^3+3a^2b}=\cfrac{63}{62}\) হয়, \(a:b\) নির্ণয় কর ।

224. \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে, \((a^2–b^2) (c^2-d^2)=(b^2–c^2)^2\)

225. \(\cfrac{b+c}{a^2}=\cfrac{c+a}{b^2}=\cfrac{a+b}{c^2}=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}=1\)

226. \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে, \((a^2-b^2 )(c^2-d^2 )=(b^2-c^2 )^2\)

227. \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে, \((a^2-b^2 )(c^2-d^2 )=(b^2-c^2 )^2\)

228. \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে, \((a^2-b^2 )(c^2-d^2 )=(b^2-c^2 )^2\)

229. \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}+\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}=1\)

230. \(ax^2+bx+c=0 (a≠0)\) সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে \(2b^2=9ac\)

231. \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}+\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}=1\)

232. \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}+\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}=1\)

233. \(3x^2+7x+23=(x+4)(x+3)+2\) -কে \(ax^2+bx+c=0\) \( (a≠0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি ।

234. প্রমান করি যে, \(2(a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি \(a≠b\) হয় ।

235. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির একটি বীজ অপর টির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে, \(2b^2=9ac\)

236. \(ax^2+bx+c=0(a≠0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, \(c=\)_____________

237. \((l+m^2)x^2+2mcx+(c^2-a^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি বাস্তব ও সমান হলে, প্রমান করি যে, \(c^2=a^2(l+m^2)\)

238. \((a^2+b^2):(a^2-b^2)=(ac+bd):(ac-bd)\)

239. \(\sqrt{a^2+c^2} ∶ \sqrt{b^2+d^2 } = (pa+qc):(pb+qd)\)

240. \(\cfrac{x^3}{a^2} +\cfrac{y^3}{b^2} +\cfrac{z^3}{c^2} =\cfrac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}\)

241. \(\cfrac{x}{lm-n^2}=\cfrac{y}{mn-l^2}=\cfrac{z}{nl-m^2}\) হয়, তবে দেখাই যে, \(lm-my+nz=0\)

242. \(\cfrac{a}{q-r}=\cfrac{b}{r-p}=\cfrac{c}{p-q}\) হলে দেখাই যে, \(a+b+c = 0 = pa+qb+rc\)

243. যদি \(\cfrac{x}{b+c}=\cfrac{y}{c+a}=\cfrac{z}{a+b}\) হয়, দেখাই যে, \(\cfrac{a}{y+z-x}=\cfrac{b}{z+x-y} =\cfrac{c}{x+y-z}\)

244. যদি \(\cfrac{3x+4y}{3u+4v}=\cfrac{3x-4y}{3u-4v}\) হয়, তবে দেখাই যে \(\cfrac{x}{y}=\cfrac{u}{v}\)

245. \(\cfrac{x^2-yz}{a}=\cfrac{y^2-zx}{b}=\cfrac{z^2-xy}{c} \) হলে, প্রমাণ করি যে, \((a+b+c)(x+y+z)=ax+by+cz\)

246. \(\cfrac{x^2-yz}{a}=\cfrac{y^2-zx}{b}=\cfrac{z^2-xy}{c}\) হলে, প্রমাণ করি যে, \((a+b+c)(x+y+z)=ax+by+cz\)

247. \(a:b=3:2\) এবং \(b:c=3:2\) হলে, \(a+b:b+c\) কত নির্ণয় করি।

248. \(\cfrac{a+b-c}{a+b}=\cfrac{b+c-a}{b+c}=\cfrac{c+a-b}{c+a}\) এবং \(a+b+c\ne0\) হলে প্রমান কর যে, \(a=b=c\)

249. দেখাই যে, \(cosec^2 22° \cot^2 68°\) \( = \sin^2 22° + \sin^2 68° \) \(+ \cot^2 68°\)

250. \(\sin^2\)∠BCO+\(\sin^2\)∠ACO=1

251. যদি \(\cfrac{sin θ}{x}=\cfrac{cos θ}{y}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(sin θ-cos θ = \cfrac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

252. যদি \((1+4x^2)cos A = 4x\) হয়, তাহলে দেখাই যে \(cosec A+cot A=\cfrac{1+2x}{1-2x}\)

253. যদি \(sinθ – cosθ = 0 (0°≤ θ ≤ 90°)\) এবং \(secθ + cosecθ = x\) হয়, তাহলে \(x\) -এর মান

(a) 1 (b) 2 (c) \(\sqrt2\) (d) \(2\sqrt2\)

254. যদি sinA+sinB=2 হয়, যেখানে 0°≤A≤90° এবং 0°≤B≤90°, তাহলে (cosA+cosB)-এর মান নির্ণয় করি।

255. একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার ∠Qসমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, PS\(^2\) + QR\(^2\)= PR\(^2\) + QS\(^2\)

256. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করলাম যার ∠A সমকোণ। AB ও AC বাহুর উপর দুটি বিন্দু যথাক্রমে P ও Q নিলাম। P, Q; B, Qও C, P যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে, BQ\(^2\) + PC\(^2\) = BC\(^2\) + PQ\(^2\)

257. ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB\(^2\)+CD\(^2\) = BC\(^2\) +DA\(^2\)

258. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, AD\(^2\) + DB\(^2\) = 2CD\(^2\)

259. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। CD মধ্যমা হলে, প্রমাণ করি যে, BC\(^2\) = CD\(^2\) + 3AD\(^2\)

260. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX, OY ও OZ, লম্ব অঙ্কন করেছি। প্রমাণ করি যে, AZ\(^2\)+BX\(^2\)+CY\(^2\) = AY\(^2\)+CX\(^2\)+BZ\(^2\)

261. যদি \(x=2, y=3\) এবং \(z=6\) হয়, তবে, \(\cfrac{3√x}{√y+√z}-\cfrac{4√y}{√z+√x}+\cfrac{√z}{√x+√y}\) -এর মান হিসাব করে লিখি ।

262. \(x-\cfrac{1}{x}\)

263. \(y^2+\cfrac{1}{y^2}\)

264. \(x^3-\cfrac{1}{x^3}\)

265. \(xy+\cfrac{1}{xy}\)

266. \(3x^2-5xy+3y^2\)

267. যদি \(a+b=√5\) এবং \(a-b=√3\) হয়, তাহলে \(a^2+b^2\) এর মান

(a) 8 (b) 4 (c) 2 (d) 1

268. \((a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d)\) হলে, প্রমান করি যে, \(a:b=c:d\)

269. যদি \(ax^2+abcx+bc=0 (a\ne 0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপর বীজের অনোন্যক হয় তাহলে - Madhyamik 2024

(a) abc=1 (b) b=ac (c) bc=1 (d) a=bc

270. যদি, \(x=\sqrt3+\sqrt2, y=\cfrac{1}{x}\) হয় তবে \((x+\cfrac{1}{x})^2+(\cfrac{1}{y}-y)^2=\) কত ? Madhyamik 2024