1. \(x:a=y:b=z:c\) হলে দেখাও \(\cfrac{x^3}{a^3}+\cfrac{y^3}{b^3}+\cfrac{z^3}{c^3}=\cfrac{3xyz}{abc}\) । Madhyamik 2020

2. \(x:a=y:b=z:c\) হলে, দেখাও যে, \(\cfrac{x^3}{a^3}+\cfrac{y^3}{b^3}+\cfrac{z^3}{c^3}\) \(=\cfrac{3xyz}{abc}\)

3. যদি \(2x^2+3y^2∝xy\) তাহলে দেখাও \(x ∝ y\)

4. \(x∝ y\) এবং \(x ∝z\) হলে দেখাও যে \(x ∝ (y-z)\)

5. কোনো চোঙের আয়তন \(V\) ঘনএকক, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(S\) বর্গএকক উচ্চতা \(h\) একক এবং ভূমির ব্যাসার্ধ \(r\) একক হলে দেখাও যে, \(S = 2V\left(\cfrac{1}{h}+\cfrac{1}{r}\right)\)

6. \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হলে দেখাও \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b}+\cfrac{1}{1+c}=1\) Madhyamik 2014 , 2005 , 2023

7. \(x= \cfrac{√7+√3}{√7-√3}\) এবং \(xy=1\) হলে,দেখাও যে \(\cfrac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}=\cfrac{12}{11}\)

8. A=B = 30° হলে দেখাও যে, sinA cos B+cosA sinB= sin (A+B)

9. \( x∝yz\) এবং \(y∝zx\) হলে, দেখাও যে, \(z (≠ 0)\) একটি ধ্রুবক । Madhyamik 2017

10. \(x : a = y : b = z : c\) হলে, দেখাও যে, \((a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)\) \( = (ax + by + cz)^2\) Madhyamik 2018

11. \(x∝y^2\) এবং \(y=2a , x=a\) হলে দেখাও যে \(y^2=4ax\) । Madhyamik 2019

12. যদি sin17\(^o\)=\(\cfrac{x}{y}\) হয়, তাহলে দেখাও sec17\(^o\)−sin73\(^o\)=\(\cfrac{x^2}{y\sqrt{y^2−x^2}}\) Madhyamik 2020

13. দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে \(h_1\) মিটার ও \(h_2\) মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভের গােড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° এবং প্রথমটির গােড়া থেকে দ্বিতীয়টির চুড়ার উন্নতি কোণ 45° হলে, দেখাও যে, \(h_1^2=3h_2^2\) Madhyamik 2016

14. \(\left(x^3-\cfrac{1}{y^3}\right)\propto \left(x^3+\cfrac{1}{y^3}\right)\) হলে, দেখাও যে\(x\propto \cfrac{1}{y}\) Madhyamik 2016

15. \(x=\cfrac{√7+√3}{√7-√3}\) এবং \( xy=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}=\cfrac{12}{11}\) Madhyamik 2015

16. যদি \(\cfrac {x}{y}\propto(x+y)\) এবং \(\cfrac {y}{x}\propto(x-y)\) হয়, তাহলে দেখাও \((x^2-y^2)\)= ধ্রুবক Madhyamik 2014

17. \(2x =\sqrt 5+1\) হলে দেখাও \(x^2-x-1= 0.\) Madhyamik 2014

18. \(a : b = b:c\) হলে দেখাও যে, \((a + b)^2:\) \( (b + c)^2 = a:c\) Madhyamik 2013

19. \(\cfrac{y+z-x}{b+c-a}=\cfrac{z+x-y}{c+a-b}=\cfrac{x+y-z}{a+b-c}\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\) Madhyamik 2008

20. \(\sin \theta=\cfrac{p^2-q^2}{p^2+q^2}\) হলে, দেখাও যে
\(\cot \theta=\cfrac{2pq}{p^2-q^2}\) \((p\gt q, 0°\lt \theta \lt 90°)\) Madhyamik 2008

21. A + B=90° হলে দেখাও যে, \(\tan A+\tan B\) \(=\cfrac{cosec^2 B}{\sqrt{cosec^2 B-1}}\) Madhyamik 2004

22. \(\cos \alpha=\cfrac{5}{13} \) এবং \(0°\lt \alpha \lt 90°\) হলে দেখাও যে, \(\cot \alpha +cosec \alpha =1.5\) Madhyamik 2004

23. \((1+m^2)x^2+2mcx+(c^2-a^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে, দেখাও যে, \(c^2=a^2(1+m^2)\)

24. \(x^2:(by+cz)=y^2:(cz+ax)=z^2:\) \((ax+by)=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{a}{a+x}+\cfrac{b}{b+y}\) \(+\cfrac{c}{c+z}=1\)

25. \(x \propto y\) এবং \(y \propto z\) হলে দেখাও যে, \(x + y \propto z\) হবে।

26. \(a\propto b, b\propto c\) হলে দেখাও যে, \(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\propto abc(a^3+b^3+c^3)\)

27. \(x= \cfrac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}}\) হলে দেখাও যে, \(x^2-2ax+1=0\)

28. \(a.b,c,d\) ক্রমিক সমানুপাতি হলে দেখাও যে, \((b-c)^2 +(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)

29. যদি \(x = \cfrac{1+sinθ}{cosθ}\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(x^2-2xtanθ-1=0\)

30. \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, \(2b^2=9ac\)