---

\(3x-4y∝\sqrt{xy}\)
বা, \(3x-4y=k\sqrt{xy}----(i)\)

বা,\((3x-4y)^2=k^2 xy\)
বা,\((3x+4y)^2-4xy=k^2 xy\)
বা,\((3x+4y)^2=k^2 xy+4xy\)
বা,\((3x+4y)^2=xy(k^2+4)\)
বা,\(3x+4y=\sqrt{xy}.\sqrt{(k^2+4)}\)
ধরি,\(\sqrt{(k^2+4)}=m\)
\(∴ 3x+4y=m\sqrt{xy}----(ii)\)

\((i)\)এবং \((ii)\) যোগ করে পাই
\(6x=k\sqrt{xy}+m\sqrt{xy}\)
বা, \(x=\cfrac{(k+m)}{6} \sqrt{xy}\)
বা, \(x^2={\left(\cfrac{k+m}{6}\right)}^2 xy=pxy \)(ধরি)\(--(iii)\)

\((ii)\) থেকে \((i)\) বিয়োগ করে পাই
\(8y=m\sqrt{xy}-k\sqrt{xy}\)
বা, \(y=\cfrac{(m-k)}{8} \sqrt{xy}\)
বা, \(y^2=\left(\cfrac{m-k}{8}\right)^2 xy=qxy\)(ধরি)\(---(iv)\)

\((iii)\) এবং \((iv)\) যোগ করে পাই,
\(x^2+y^2=pxy+qxy=(p+q)xy\)
\(∵p,q\) ধ্রুবক
\(∴x^2+y^2∝xy\) (প্রমাণিত)