1. যদি \(\left(\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{y}\right)∝\cfrac{1}{x-y}\) হয় তবে দেখাও যে, \((x^2+y^2)∝xy\) । Madhyamik 2019

2. যদি \(sin18° = \cfrac{x}{y}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(sec⁡18°-sin⁡72°=\cfrac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\)

3. যদি \((b + c - a)x = (c + a - b)y\) \( = (a + b - c)z = 2\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\left(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}\right)\left(\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\right)\left(\cfrac{1}{z}+\cfrac{1}{x}\right)=abc\) Madhyamik 2017

4. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto x+y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x – y\) হয়, তবে দেখাও যে, \((x^2 –y^2)\) একটি ধ্রুবক রাশি।

5. একটি সরল দোলকের দোলনকাল উহার দৈর্ঘ্যের বর্গমূলের সাথে সরলভেদে আছে। যদি L দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি দোলকের দোলনকাল T হয়, তবে দেখাও যে, 4L দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট দোলকের দোলনকাল 2T

6. যদি \(\cfrac{p}{q} \propto p+q\) এবং \(\cfrac{q}{p} \propto p-q\)- হয়, তবে দেখাও যে, \(p^2-q^2\)= ধ্রুবক ।

7. যদি \(cotθ=\cfrac{x}{y}\) হয়,তবে প্রমাণ করো যে, \(\cfrac{xcosθ-ysinθ}{xcosθ+ysinθ}=\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

8. যদি \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় \(\cfrac{1}{2}\) অথবা \(-1\) । Madhyamik 2017 , 2011

9. দুই বন্ধু যথাক্রমে 40,000 টাকা ও 50,000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারি ব্যবসা শুরু করে । তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে । প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশ অপেক্ষা 800 টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ কত ? Madhyamik 2019

10. যদি \(\cfrac{b+c−a}{y+z−x}=\cfrac{c+a−b}{z+x−y}=\cfrac{a+b−c}{x+y−z}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে,\(\cfrac{a}{x}=\cfrac{b}{y}=\cfrac{c}{z}\) । Madhyamik 2019

11. △ABC -এর ∠C=90\(^o\), যদি BC = \(m\) এবং AC = \(n\) হয় তবে দেখাও যে, \(msinA+nsinB\) \(=\sqrt{m^2+n^2}\) Madhyamik 2019

12. যদি \(∠P+∠Q=90^o\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\sqrt{\cfrac{sinP}{cosQ}}−sinPcosQ=cos^2P\) Madhyamik 2019

13. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে দেখাও যে, প্রতিটি অনুপাতের মান হয় \(\cfrac{1}{2}\) না হয় -1 Madhyamik 2015

14. যদি \(a : b = b : c\) হয়, তবে দেখাও যে, \(abc (a+b+c)^3 = (ab + bc + ca)^3\) Madhyamik 2012

15. যদি \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{a}{a+1}+\cfrac{b}{b+1}+\cfrac{c}{c+1}=2\)

16. যদি \(a:b = b:c\) হয় তবে দেখাও যে, \(a^2 b^2 c^2 (\cfrac{1}{a^3} + \cfrac{1}{b^3} + \cfrac{1}{c^3}) = a^3+b^3+c^3\)

17. যদি \(a+\cfrac{1}{b}=1\) এবং \(b +\cfrac{1}{c}= 1\) হয়,তবে দেখাও যে, \(c+\cfrac{1}{a} =1\)

18. যদি \(a \propto b\) এবং \(b\propto c\) হয় তবে দেখাও যে, \(a+b+c \propto 5abc\)

19. \(\triangle\)ABC এর একটি মধ্যমা AD অঙ্কন করাে। যদি BC-এর সমান্তরাল কোনাে সরলরেখা AB ও AC বিন্দুদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে তবে প্রমাণ করাে যে, AD দ্বারা PQ সরলরেখাংশ সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

20. যদি, \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয় তবে প্রমাণ করো যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা -1-এর সমান। Madhyamik 2024

21. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা 1 এর সমান।

22. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা (-1) এর সমান।

23. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা (-1) এর সমান।

24. যদি \(\cfrac{1}{y}-\cfrac{1}{x}\propto \cfrac{1}{x-y}\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(x\propto y\)

25. যদি \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{a+1}+\cfrac{1}{b+1}+\cfrac{1}{c+1}=1\)

26. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto x + y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x - y\) হয় তবে দেখাও যে \(x^2-y^2\) ধ্রুবক। y

27. যদি \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{a+1}+\cfrac{1}{b+1}+\cfrac{1}{c+1}=1\)

28. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা (-1) এর সমান।

29. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে প্রতিটি অনুপাতের মান \(\cfrac{1}{2}\) অথবা (-1) এর সমান।

30. A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। অপর একটি বৃত্ত, বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O যদি ওই বৃত্তের কেন্দ্র হয়, তবে প্রমাণ করি যে, AO + BO ধ্রুবক হবে।

31. দুই বন্ধু যথাক্রমে 40000 টাকা ও 50000 টাকা দিয়ে একটি যৌথ ব্যবসা শুরু করেন। তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে। প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশের পরিমাণ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশ অপেক্ষা 800 টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশের পরিমাণ হিসাব করে লিখি।