যদি \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় \(\cfrac{1}{2}\) অথবা \(-1\) । Madhyamik 2017 , 2011
ধরি, \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}=k\)
[\(k\) একটি অশূন্য ধ্রুবক ]
সুতরাং, \(a=k(b+c), b=k(c+a)\) এবং \( c=k(a+b)\)
\(\therefore a+b+c=k(b+c)+k(c+a)+k(a+b)\)
বা, \(a+b+c=k(b+c+c+a+a+b)\)
বা, \(a+b+c=2k(a+b+c)\)
বা, \((a+b+c)-2k(a+b+c)=0\)
বা, \((a+b+c)(1-2k)=0\)
\(\therefore \) হয়, \(a+b+c=0\)
নয়, \(1-2k=0\) বা, \(-2k=-1\) \(\therefore k=\cfrac{1}{2}\)
\(\therefore \) প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় \(\cfrac{1}{2}\)
আবার, \(a+b+c=0\) হলে \(b+c=-a\)
\(\therefore \cfrac{a}{b+c}=\cfrac{a}{-a}=-1\)
আবার, \(c+a=-b\)
\(\therefore \cfrac{b}{c+a}=\cfrac{b}{-b}=-1\)
এবং,\(a+b=-c\)
\(\therefore \cfrac{c}{a+b}=\cfrac{c}{-c}=-1\)
\(\therefore \cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) হলে প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় \(\cfrac{1}{2}\) অথবা \(-1\) (প্রমাণিত)