1. যদি \(x∝y\) এবং \(y∝z\) হয়, প্রমাণ করো যে, \(x^2+y^2+z^2 ∝xy+yz+zx\)
2. যদি \(y∝x^3\) হয় এবং \(x\) এর বৃদ্ধি \(2:3\) অনুপাতে হয়, তাহলে \(y\) এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।
3. যদি \(3x-4y∝ \sqrt{xy}\) হয়,তবে প্রমাণ করো, \(x^2+y^2∝xy\)
4. যদি \(2x^2+3y^2∝xy\) তাহলে দেখাও \(x ∝ y\)
5. যদি \(x ∝\cfrac{1}{y}\) এবং \(y = 10\) হলে \(x = 5\) হয়, তাহলে \(y = 5\) হলে \(x\) এর মান নির্ণয় করো।
6. যদি \(x\propto y\) হয় তখন –
(a) \(x^2\propto y^3\) (b) \(x^3\propto y^2\) (c) \(x \propto y^3\) (d) \(x^2\propto y^2\)
7. যদি \(y-z∝\cfrac{1}{x} , z-x∝\cfrac{1}{y}\) এবং \(x-y∝\cfrac{1}{z}\) হয়, তাহলে ভেদ ধ্রুবক তিনটির যোগফল 0
8. একটি গ্রামের জনসংখ্যা প্রতিবছর \(\cfrac{x}{2}\)% হারে বাড়ে। যদি বর্তমান জনসংখ্যা \(xy\) হয়, তবে \(z\) বছর পর জনসংখ্যা হবে —
9. যদি \(\cfrac{1}{y}-\cfrac{1}{x}\propto \cfrac{1}{x-y}\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(x\propto y\)
10. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto x+y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x-y\) হয়, তবে দেখাই যে \(x^2-y^2\) = ধ্রুবক।
11. যদি \(y-z∝\cfrac{1}{x} , z-x∝\cfrac{1}{y}\) এবং \(x-y∝\cfrac{1}{z}\) হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি
(a) 0 (b) 1 (c) -1 (d) 2
12. যদি \(x\propto y\) হয় তখন
(a) \(x^2\propto y^3\) (b) \(x^3\propto y^2\) (c) \(x\propto y^3\) (d) \(x^2\propto y^2\)
13. যদি \(x\propto y\) হয়, তাহলে \((x^{n}\propto y^{n})\)হবে।
14. যদি \(x =\sqrt{ 7 + 4√3}\) হয়, তাহলে \(x-\cfrac{1}{x}\) এর মান হবে-
(a) 2 (b) 2√3 (c) 4 (d) 2-√3
15. যদি \( x∝y\) হয়, তাহলে— Madhyamik 2018
(a) \(x^2∝y^3\) (b) \(x^3∝y^2\) (c) \(x∝y^2\) (d) \(x^2∝y^2\)
16. যদি \((u^2+v^2) ∝(x^2+y^2) \) এবং \(uv∝xy\) হয় তবে দেখাও যে \((u+v)∝(x+y)\) যখন \(\cfrac{u}{v}+\cfrac{v}{u}\) \(=\cfrac{x}{y}+\cfrac{y}{x}\)
17. যদি \(\sum_{i=1}^n \) \(x_i-3=0\) এবং \(∑_{i=1}^n (x_i+3)=66\) হয়,তবে \(\bar{x}\) ও \(n\) এর মান নির্ণয় করো।
18. যদি \(x^2+y^2-4x-6y+13=0\) হয়, তাহলে \((x+y) : (y-x) \) এর মান কত?
19. \(x∝ y\) এবং \(x ∝z\) হলে দেখাও যে \(x ∝ (y-z)\)
20. যদি \(cosθ = \cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(xsinθ = y cosθ\)
21. যদি \(b∝a^3\) হয় এবং \(a\) এর বৃদ্ধি \(2:3\) অনুপাতে হয়, তাহলে \(b\) এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।
22. যদি \(x = \cfrac{√3+1}{√3-1}\) এবং \(y = \cfrac{√3-1}{√3+1}\) হয়, তবে দেখাও যে \(\cfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} =\cfrac{7√3}{12}\)
23. যদি \((b + c - a)x = (c + a - b)y\) \( = (a + b - c)z = 2\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\left(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}\right)\left(\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\right)\left(\cfrac{1}{z}+\cfrac{1}{x}\right)=abc\) Madhyamik 2017
24. \(x∝y\) এবং \(y∝z\) হলে, হলে প্রমাণ করো, \((x^2+y^2+z^2)∝(xy+yz+zx)\) Madhyamik 2018
25. যদি \(\left(\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{y}\right)∝\cfrac{1}{x-y}\) হয় তবে দেখাও যে, \((x^2+y^2)∝xy\) । Madhyamik 2019
26. যদি \(x=cy+bz; y=az+cx\) এবং\( z=bx+ay\) হয় , তাহলে প্রমান করো যে \( \cfrac{x^2}{1-a^2}=\cfrac{y^2}{1-b^2}\) Madhyamik 2014
27. যদি \(x=\cfrac{1}{2+\sqrt3};y=\cfrac{1}{2-\sqrt3}\) হয়, তাহলে\(\cfrac{1}{1+x}+\cfrac{1}{1+y}\) = কত? Madhyamik 2014 , 2023
28. যদি \(x+y \propto x-y\) হয়, তবে দেখাও যে, \(x^3+y^3 \propto x^3-y^3\) Madhyamik 2010
29. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto x+y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x – y\) হয়, তবে দেখাও যে, \((x^2 –y^2)\) একটি ধ্রুবক রাশি।
30. যদি \(x =\cfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\) এবং \(xy=1\) হয়, প্রমাণ করাে যে, \(\cfrac{x^2}{y}+\cfrac{y^2}{x}\) এর সরলতম মান 52