যদি \(a:b=b:c\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(a^2b^2c^2\left(\cfrac{1}{a^3} +\cfrac{1}{b^3} +\cfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3\)
\(a, b, c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে \(a:b=b:c\)
ধরি, \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{b}{c}=k (k \ne 0)\)
সুতরাং, \(a=bk=ck^2\) এবং \(b=ck\)
বামপক্ষ \(=a^2 b^2 c^2 \left(\cfrac{1}{a^3} +\cfrac{1}{b^3} +\cfrac{1}{c^3}\right)\)
\(=(ck^2 )^2.(ck)^2.c^2 \left(\cfrac{1}{(ck^2 )^3} +\cfrac{1}{(ck)^3} +\cfrac{1}{c^3} \right)\)
\(=c^2 k^4. c^2 k^2.c^2\left(\cfrac{1}{c^3 k^6}+\cfrac{1}{c^3 k^3}+\cfrac{1}{c^3}\right)\)
\(=c^6 k^6.\cfrac{1}{c^3}\left(\cfrac{1}{k^6} +\cfrac{1}{k^3} +1\right)\)
\(=c^3 k^6 \left(\cfrac{1+k^3+k^6}{k^6} \right)\)
\(=c^3 (1+k^3+k^6 )=c^3 (k^6+k^3+1)\)
ডানপক্ষ \(=a^3+b^3+c^3\)
\(=(ck^2 )^3+(ck)^3+c^3\)
\(=c^3 k^6+c^3 k^3+c^3\)
\(=c^3 (k^6+k^3+1) \)
∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ (প্রমানিত)