---

ধরি, \(∆ABC \) এর \(BE\) এবং \(CF\) মধ্যমা দুটি পরস্পরকে \(G\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। \(FE\) রেখাংশ \(AG\) কে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমান করতে হবে যে, \(AO=3OG\)

অঙ্কনঃ \(AG\) কে বর্ধিত করা হল যা \(BC\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করল।

প্রমানঃ যেহেতু \(E\) এবং \(F\) যথাক্রমে \(AC\) ও \(AB\) এর মধ্যবিন্দু সুতরাং \(EF∥BC\)

আবার \(∆ABD\) এর
\(FO∥BD\) এবং \(F,AB\) এর মধ্যবিন্দু
\(∴ O,AD\) এর মধ্যবিন্দু।

যেহেতু ত্রিভূজের মধ্যমাগুলি পরস্পরকে \(2:1\) অনুপাতে
বিভক্ত করে,সুতরাং, \(\cfrac{AG}{GD}=\cfrac{2}{1} \)
বা, \(\cfrac{AO+OG}{OD-OG}=\cfrac{2}{1} \)
বা, \(\cfrac{AO+OG}{AO-OG}=\cfrac{2}{1} [∵AO=OD]\)
বা, \(2AO-2OG=AO+OG \)
বা, \(2AO-AO=OG+2OG \)
বা, \(AO=3OG\) [প্রমানিত]