1. \(a:b=c:d\) হলে, প্রমান করো যে, \((a^2+c^2)(b^2+d^2)=(ab+cd)^2\)

2. \(a:b=c:d\) হলে, প্রমান করি যে, \((a^2+c^2)(b^2+d^2)=(ab+cd)^2\)

3. \(a:b = c:d\) হলে, প্রমাণ করো \((a^2+c^2 )(b^2+d^2 )=(ab+cd)^2\)

4. একটি সমকোণী চৌপলের আয়তন \(v\), দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে \(a,b,c\) এবং সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল \(s\) হলে প্রমাণ করাে যে : \(\cfrac{1}{v}=\cfrac{2}{3}\left(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{c}\right)\)

5. \(a:b=c:d\) হলে, দেখাই যে, \((a^2+b^2):(a^2-b^2)=(ac+bd):(ac-bd)\)

6. \(a:b=c:d\) হলে, দেখাই যে, \((a^2+ab+b^2): (a^2-ab+b^2)= (c^2+cd+d^2) : (c^2-cd+d^2)\)

7. \(a:b=b:c\) হলে প্রমাণ করাে \((a+b+c) (a-b+c) = a^2+b^2+c^2\)

8. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:p\) হলে, প্রমাণ করো যে, \(\cfrac{(p+1)^2}{p}=\cfrac{b^2}{ac}\)

9. \(a:b=b:c\) হয়, তবে প্রমাণ করাে যে \(a^2b^2c^2\left(\cfrac{1}{a^3}+\cfrac{1}{b^3}+\cfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3\)

10. \(a:b=c:d\) হলে, দেখাই যে, \(\sqrt{a^2+c^2} ∶ \sqrt{b^2+d^2 } = (pa+qc):(pb+qd)\)

11. \(a:b=c:d=e:f\) হলে, প্রমান করি যে, \((a^2+c^2+e^2)(b^2+d^2+f^2)=(ab+cd+ef)^2\)

12. \(a,b,c,d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে, \((a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2\)

13. \((a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d)\) হলে, প্রমান করি যে, \(a:b=c:d\)

14. \(a : b = c : d\) হলে প্রমাণ করো : \(\cfrac{a+b}{a-b}\)=\(\cfrac{\sqrt{ac+ad+bc+bd}}{\sqrt{ac-ad-bc+bd}}\)

15. \(a,b,c,d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমাণ করো, \((a^2+b^2+c^2 )(b^2+c^2+d^2 )=(ab+bc+cd)^2\) Madhyamik 2004

16. \(x : a = y : b = z : c\) হলে, দেখাও যে, \((a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)\) \( = (ax + by + cz)^2\) Madhyamik 2018

17. \(a : b = b:c\) হলে দেখাও যে, \((a + b)^2:\) \( (b + c)^2 = a:c\) Madhyamik 2013

18. \(a:b=b:c\) হলে দেখাও যে, \(\left(\cfrac{a+b}{b+c}\right)^2=\cfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

19. \(a:b=b:c\) হলে দেখাও যে, \((a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2\)

20. \(a, b, c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমাণ করো : \(a^2b^2c^2\left(\cfrac{1}{a^3}+\cfrac{1}{b^3}+\cfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3\)

21. \(x:a=y:b=z:c\) হলে, প্রমান করি যে, \((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2\)

22. \(a,b,c,d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে, \((b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)

23. \(ad=bc\) হলে দেখাও যে, \((a–b) : b\) ও \((c–d) : d\) সমানুপাতে আছে।

24. \(A\) ও \(B\) পূরক কোণ হলে প্রমাণ করো : \(\cfrac{sinA+sinB}{cosB-cosA}=\cfrac{cosA+cosB}{sinA-sinB}\)

25. \(a+b:\sqrt{ab}=1:1\) হলে \(\sqrt{\cfrac{a}{b}}+\sqrt{\cfrac{b}{a}}\) এর মান কত ?

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4

26. \(a:b:c = 2:3:5\) হলে \(\cfrac{2a + 3b- 3c}{c}\) এর মান নির্ণয় করো।

(a) \(=-\cfrac{2}{5}\) (b) \(=-\cfrac{3}{5}\) (c) \(=\cfrac{2}{5}\) (d) \(=\cfrac{3}{5}\)

27. যদি \(a : b = b : c\) হয়, তবে দেখাও যে, \(abc (a+b+c)^3 = (ab + bc + ca)^3\) Madhyamik 2012

28. দুটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ ∆ABCও ∆PQR সদৃশকোণী। তাদের পরিকেন্দ্র যথাক্রমে X ও Y; BC ও QR অনুরূপ বাহু হলে, প্রমাণ করি যে, BX: QY = BC: QR. Madhyamik 2003

29. \(a, b, c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমাণ কর যে, \(a^2b^2c^2\left(\cfrac{1}{a^3}+\cfrac{1}{b^3}+\cfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3\) Madhyamik 2003

30. \(x^2:(by+cz)=y^2:(cz+ax)=z^2:\) \((ax+by)=1\) হলে দেখাও যে, \(\cfrac{a}{a+x}+\cfrac{b}{b+y}\) \(+\cfrac{c}{c+z}=1\)