---

সমদ্বিবাহু ∆ABC এর AC=BC এবং ∠C সমকোণ। D,AB এর ওপর যেকোনো একটি বিন্দু। প্রমান করতে হবে যে,AD\(^2\)+DB\(^2\)=2CD\(^2\)

অঙ্কনঃ D বিন্দু দিয়ে AC এবং BC এর অপর যথাক্রমে DE এবং DF লম্ব টানা হল।

প্রমানঃ চতুর্ভূজ CEDF এর
∠DEC=∠DFC=সমকোণ(অঙ্কনানুসারে)
এবং ∠C=সমকোন (কল্পনানুসারে)
সুতরাং,CEDF একটি আয়তক্ষেত্র।

এখন ∆ADE এর
∠ADE=∠ABC[∵DE∥BC,এবং AB ভেদক]
আবার ∠ABC=∠BAC [∵AC=BC]
∴∠ADE=∠BAC=∠DAE
সুতরাং AE=DE

অনুরূপভাবে প্রমান করা যায় যে,BF=DF

∵∆ADE,∆BDF সমকোণী ত্রিভূজ
∴AD\(^2\)+BD\(^2\)=AE\(^2\)+DE\(^2\)+BF\(^2\)+DF\(^2\)
=DE\(^2\)+DE\(^2\)+DF\(^2\)+DF\(^2\) [∵AE=DE এবং BF=DF]
=2(DE\(^2\)+DF\(^2\) )
=2(DE\(^2\)+EC\(^2\) )[∵CEDF একটি আয়তক্ষেত্র]
=2CD\(^2\) [∵∆DEC সমকোণী ত্রিভূজ]

∴AD\(^2\)+DB\(^2\)=2CD\(^2\) (প্রমানিত)