---

ধরি,একটি \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরনটির একটি বীজ \(\alpha\) এবং অপর বীজটি \(\beta\)

\(∴ \alpha+\beta=-\cfrac{b}{a}\)
এবং \(\alpha\beta=\cfrac{c}{a}\)

আবার, \(2b^2=9ac\)
বা, \(\cfrac{2b^2}{a^2}=\cfrac{9ac}{a^2}\) [উভয়পক্ষকে \(a^2\) দিয়ে ভাগ করে পাই]
বা, \(2\left(-\cfrac{b}{a}\right)^2=9\cfrac{c}{a}\)
বা, \(2×(\alpha+\beta)^2=9\alpha\beta\)
বা,\(2(\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2)-9\alpha\beta=0\)
বা, \(2\alpha^2+4\alpha\beta+2\beta^2-9\alpha\beta=0\)
বা, \(2\alpha^2-5\alpha\beta+2\beta^2=0\)
বা, \(2\alpha^2-4\alpha\beta-\alpha\beta+2\beta^2=0\)
বা, \(2\alpha(\alpha-2\beta)-\beta(\alpha-2\beta)=0\)
বা, \((\alpha-2\beta)(2\alpha-\beta)=0\)

\(\therefore\) হয়, \((\alpha-2\beta)=0\) নয় \((2\alpha-\beta)=0\)
\(\therefore \) হয়, \(\alpha=2\beta\) নয় \(2\alpha=\beta\) বা, \(\beta=2\alpha\)

\(\therefore\) \(ax^2+bx+c=0 (a\ne 0)\) সমীকরণের \(2b^2=9ac\) হলে একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ। (প্রমানিত)