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ধরি, \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{b}{c}=\cfrac{c}{d}=k\) (যেখানে,\(k≠0\))
সুতরাং, \(a=bk,b=ck,c=dk\)
\(∴b=dk×k=dk^2\)
এবং \(a=dk^2×k=dk^3\)

বামপক্ষ \(=(b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2\)
\(=(dk^2-dk)^2+(dk-dk^3 )^2+(dk^2-d)^2\)\(=d^2 k^2 (k-1)^2+d^2 k^2 (1-k^2 )^2+d^2 (k^2-1)^2\)
\(=d^2 \{k^2 (k^2-2k+1)+k^2 (1-2k^2+k^4 )\)\(+(k^4-2k^2+1)\}\)
\(=d^2 \{k^4-2k^3+k^2+k^2-2k^4+k^6+k^4\)\(-2k^2+1\}\)
\(=d^2 \{k^6-2k^3+1\}\)
\(=d^2 \{(k^3 )^2-2.k^3.1+(1)^2 \}\)
\(=d^2 (k^3-1)^2 \)

ডানপক্ষ \(=(a-d)^2\)
\(=(dk^3-d)^2\)
\(=d^2 (k^3-1)^2\)

\(\therefore\) বামপক্ষ=ডানপক্ষ(প্রমানিত)