1. যদি \(\cfrac{ay−bx}{c}=\cfrac{cx−az}{b}=\cfrac{bz−cy}{a}\) হয়, তবে প্রমাণ করো \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\)

2. যদি \(\cfrac{ay−bx}{c}=\cfrac{cx−az}{b}=\cfrac{bz−cy}{a}\) হয়, তবে প্রমাণ করো \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\)

3. যদি \(\cfrac{ay−bx}{c}=\cfrac{cx−az}{b}=\cfrac{bz−cy}{a}\) হয়, তবে প্রমাণ করো \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\)

4. যদি \(\cfrac{ay−bx}{c}=\cfrac{cx−az}{b}=\cfrac{bz−cy}{a}\) হয়, তবে প্রমাণ করো \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\)

5. যদি \(cosθ = \cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(xsinθ = y cosθ\)

6. যদি \(cotθ=\cfrac{x}{y}\) হয়,তবে প্রমাণ করো যে, \(\cfrac{xcosθ-ysinθ}{xcosθ+ysinθ}=\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

7. যদি \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় \(\cfrac{1}{2}\) অথবা \(-1\) । Madhyamik 2017 , 2011

8. যদি \(\cfrac{b+c−a}{y+z−x}=\cfrac{c+a−b}{z+x−y}=\cfrac{a+b−c}{x+y−z}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে,\(\cfrac{a}{x}=\cfrac{b}{y}=\cfrac{c}{z}\) । Madhyamik 2019

9. যদি \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) এবং \(a+b+c\ne 0\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(a=b=c\) Madhyamik 2007

10. যদি \(3x-4y∝ \sqrt{xy}\) হয়,তবে প্রমাণ করো, \(x^2+y^2∝xy\)

11. যদি \(a,b,c\) ও \(d\) ক্রমিক সমানুপাতী হয়,তবে প্রমাণ করো \((b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)

12. যদি \(a,b,c\) ও \(d\) ক্রমিক সমানুপাতী হয়,তবে প্রমাণ করো \((b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)

13. যদি \(a,b,c\) ও \(d\) ক্রমিক সমানুপাতী হয়,তবে প্রমাণ করো \((b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)

14. যদি \(a,b,c\) ও \(d\) ক্রমিক সমানুপাতী হয়,তবে প্রমাণ করো \((b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)

15. যদি \(a,b,c\) ও \(d\) ক্রমিক সমানুপাতী হয়,তবে প্রমাণ করো \((b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)

16. যদি \(a : b = b : c\) হয়, তবে প্রমাণ করো \(\cfrac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3}=1\) Madhyamik 2022

17. যদি \(\cfrac{ay-bx}{c} \) \(=\cfrac{cx-az}{b}=\) \(\cfrac{bz-cy}{a}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে, \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\)

18. কোনো গ্রহের তার উপগ্রহের উপর আকর্ষণ বল গ্রহের ভর (M) এর সঙ্গে সরলভেদে এবং তাদের দূরত্ব (D) এর বর্গের সাথে ব্যস্তভেদে আছে। আবার উপগ্রহের আবর্তনের পর্যায়কাল (T) এর বর্গ দূরত্বের সঙ্গে সরলভেদে এবং আকর্ষণ বলের সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। যদি \(m_1, d_1, t_1\) এবং \(m_2, d_2, t_2\), যথাক্রমে M, D, T এর দুই প্রস্থ অনুরূপ মান হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(m_1t_1^2 d_2^3 = m_2t_2^2 d_1^3\)

19. যদি \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}=\cfrac{e}{f}\) হয়, তবে প্রমাণ করো প্রত্যেকটি অনুপাত = \(\left(\cfrac{la^n+mc^n+pe^n}{lb^n+md^n+pf^n}\right)^{\cfrac{1}{n}}\)

20. যদি a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হয়, তবে প্রমাণ করো যে,\(a^2b^2c^2 \left(\cfrac{1}{a^3}+\cfrac{1}{b^3}+\cfrac{1}{c^3}\right) = a^3+b^3+c^3\)

21. যদি \(\cfrac{x^2-yz}{a}=\cfrac{y^2-zx}{b}=\cfrac{z^2-xy}{c}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \((a+b+c)(x+y+z)=ax+by+cz\)

22. যদি \(\sum_{i=1}^n \) \(x_i-3=0\) এবং \(∑_{i=1}^n (x_i+3)=66\) হয়,তবে \(\bar{x}\) ও \(n\) এর মান নির্ণয় করো।

23. কোনো তথ্যসমূহের যদি \(∑_{i=1}^n (x_i-7)\) \(=-8\) এবং \(∑_{i=1}^n=(x_i+3)=72\) হয়, তবে \(\bar{x}\) ও \(n\) এর মান নির্ণয় করো।

24. যদি \(cosec^2 θ=2cotθ\) হয়, তবে \(θ\) এর মান নির্ণয় করো। [যেখানে 0°<θ<90°]

25. যদি \(x∝y\) এবং \(y∝z\) হয়, প্রমাণ করো যে, \(x^2+y^2+z^2 ∝xy+yz+zx\)

26. যদি \(rcosθ = 2√3\) , \(rsinθ =2\) এবং \(0°<θ<90°\) হয়, তবে \(r\) ,ও \(θ\) এর মান নির্ণয় করো। Madhyamik 2024

27. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের 10 সেমি ও 24 সেমি দৈর্ঘ্যের দুটি সমান্তরাল জ্যা AB এবং CD কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। যদি AB ও CD জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব 17 সেমি হয়, তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

28. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভূজ এবং O ওই বৃত্তের কেন্দ্র। যদি ∠COD=120° এবং ∠BAC=30° হয়, তবে ∠BOC ও ∠BCD এর মান নির্ণয় করো।

29. যদি \(cos^2⁡θ-sin^2⁡θ=tan^2⁡α\) হয়,তাহলে প্রমাণ করো \(cos^2⁡α-sin^2⁡α=tan^2⁡θ\)

30. যদি নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকার যৌগিক গড় 54 হয়, তবে K -এর মান নির্ণয় করো :