1. যদি \(\cfrac{a+b}{b+c}=\cfrac{c+d}{d+a}\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(c=a\) অথবা \(a+b+c+d=0\)

2. প্রমান করি যে, \(2(a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি \(a≠b\) হয় ।

3. \((l+m^2)x^2+2mcx+(c^2-a^2)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি বাস্তব ও সমান হলে, প্রমান করি যে, \(c^2=a^2(l+m^2)\)

4. \(x:a=y:b=z:c\) হলে, প্রমান করি যে, \(\cfrac{x^3}{a^2} +\cfrac{y^3}{b^2} +\cfrac{z^3}{c^2} =\cfrac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}\)

5. \(x:a=y:b=z:c\) হলে, প্রমান করি যে, \(\cfrac{x^3+y^3+z^3}{a^3+ b^3+ c^3}=\cfrac{xyz}{abc}\)

6. \(x:a=y:b=z:c\) হলে, প্রমান করি যে, \((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2\)

7. \(a:b=c:d=e:f\) হলে, প্রমান করি যে, প্রত্যেকটি অনুপাত=\(\cfrac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}\)

8. \(a:b=c:d=e:f\) হলে, প্রমান করি যে, \((a^2+c^2+e^2)(b^2+d^2+f^2)=(ab+cd+ef)^2\)

9. যদি \(a:b=b:c\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(\left(\cfrac{a+b}{b+c}\right)^2=\cfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

10. যদি \(a:b=b:c\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(a^2b^2c^2\left(\cfrac{1}{a^3} +\cfrac{1}{b^3} +\cfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3\)

11. যদি \(a:b=b:c\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(\cfrac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3} =1\)

12. যদি \(\cfrac{a+b}{b+c}=\cfrac{c+d}{d+a}\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(c=a\) অথবা \(a+b+c+d=0\)

13. \(a:b=c:d\) হলে, প্রমান করি যে, \((a^2+c^2)(b^2+d^2)=(ab+cd)^2\)

14. \((a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d)\) হলে, প্রমান করি যে, \(a:b=c:d\)