1. যদি \(a : b = b : c\) হয়, তবে প্রমাণ করো \(\cfrac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3}=1\) Madhyamik 2022

2. যদি \(a:b=b:c\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(\cfrac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3} =1\)

3. যদি \(a:b = b:c\) হয় তবে দেখাও যে, \(a^2 b^2 c^2 (\cfrac{1}{a^3} + \cfrac{1}{b^3} + \cfrac{1}{c^3}) = a^3+b^3+c^3\)

4. যদি \((b + c - a)x = (c + a - b)y\) \( = (a + b - c)z = 2\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\left(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}\right)\left(\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\right)\left(\cfrac{1}{z}+\cfrac{1}{x}\right)=abc\) Madhyamik 2017

5. যদি দ্বিঘাত সমীকরণের \(ax^2+bx+c=0\) এর বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:r\) হয়, তবে দেখাও যে \((r+1)^2ac=b^2r\)

6. যদি দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+bx+c=0\) এর বীজ দুটির অনুপাত \(1:2\) হয় তবে দেখাও \(2b^2=9ac\)

7. যদি \(a:b=b:c\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(\left(\cfrac{a+b}{b+c}\right)^2=\cfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

8. যদি \(a:b=b:c\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(a^2b^2c^2\left(\cfrac{1}{a^3} +\cfrac{1}{b^3} +\cfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3\)

9. যদি \(ax^2+bx+c=0 (a≠0) \)দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটির অনুপাত 1:2 হয় তবে দেখাও যে \(2b^2=9ac\)।

10. \(a : b = b:c\) হলে দেখাও যে, \((a + b)^2:\) \( (b + c)^2 = a:c\) Madhyamik 2013

11. যদি \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) এবং \(a+b+c\ne 0\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(a=b=c\) Madhyamik 2007

12. যদি \(a+\cfrac{1}{b}=1\) এবং \(b +\cfrac{1}{c}= 1\) হয়,তবে দেখাও যে, \(c+\cfrac{1}{a} =1\)

13. যদি দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+bx+c=0\) এর বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:r\) হয়, তবে দেখাই যে, \(\cfrac{(r+1)^2}{r}=\cfrac{b^2}{ac}\)

14. যদি দ্বিঘাত সমীকরণে \(ax^2+bx+c=0\) বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:s\) হয় তবে দেখাও \(\cfrac{(s +1)^2}{s}=\cfrac{b^2}{ac}\)

15. \(a:b=b:c\) হলে দেখাও যে, \(\left(\cfrac{a+b}{b+c}\right)^2=\cfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

16. \(a:b=b:c\) হলে দেখাও যে, \((a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2\)

17. যদি \((3a-2b):(a+2b)\) হয়, তবে \(a:b=?\)

18. \(a:b=b:c\) হয়, তবে প্রমাণ করাে যে \(a^2b^2c^2\left(\cfrac{1}{a^3}+\cfrac{1}{b^3}+\cfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3\)

19. যদি \(\cfrac{b}{a+b}=\cfrac{a+c-b}{b+c-a}=\cfrac{a+b+c}{2a+b+2c}\) হয়, (যেখানে \(a+b+c \ne0\)) তবে দেখাও যে, \(\cfrac{a}{2}=\cfrac{b}{3}=\cfrac{c}{4}\)

20. যদি\( ax^2+bx+c=0\) \((a\ne0) \)দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:r\) হয়, তবে দেখাও যে \(\cfrac{(r+1)^2}{r}=\cfrac{b^2}{ac}\)

21. \(x:a=y:b=z:c\) হলে, দেখাও যে, \(\cfrac{x^3}{a^3}+\cfrac{y^3}{b^3}+\cfrac{z^3}{c^3}\) \(=\cfrac{3xyz}{abc}\)

22. \(x : a = y : b = z : c\) হলে, দেখাও যে, \((a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)\) \( = (ax + by + cz)^2\) Madhyamik 2018

23. △ABC -এর ∠C=90\(^o\), যদি BC = \(m\) এবং AC = \(n\) হয় তবে দেখাও যে, \(msinA+nsinB\) \(=\sqrt{m^2+n^2}\) Madhyamik 2019

24. যদি \(∠P+∠Q=90^o\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\sqrt{\cfrac{sinP}{cosQ}}−sinPcosQ=cos^2P\) Madhyamik 2019

25. \(x:a=y:b=z:c\) হলে দেখাও \(\cfrac{x^3}{a^3}+\cfrac{y^3}{b^3}+\cfrac{z^3}{c^3}=\cfrac{3xyz}{abc}\) । Madhyamik 2020

26. যদি \(a^2=by+cz\), \(b^2=cz+ax\) এবং \(c^2=ax+by\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{x}{a+x}+\cfrac{y}{b+y}+\cfrac{z}{c+z}=1\) Madhyamik 2013

27. যদি \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{a}{a+1}+\cfrac{b}{b+1}+\cfrac{c}{c+1}=2\)

28. যদি \(a+b+c=0\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\cfrac{bc}{2a^2+bc}+\cfrac{ca}{2b^2+ca}+\cfrac{ab}{2c^2+ab}=1\)

29. যদি \(a,b,c\) ও \(d\) ক্রমিক সমানুপাতী হয়,তবে প্রমাণ করো \((b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)

30. যদি \(a+\cfrac{1}{b}=1\) এবং \(b+\cfrac{1}{c}=1\) হয়, তাহলে \((c+\cfrac{1}{a})\) এবং \((abc + 1)\)-এর মান নির্ণয় করাে।

(a) 1 এবং 0 (b) 0 এবং 1 (c) 0 এবং 0 (d) 1 এবং 1