1. যদি \(cos^2⁡θ-sin^2⁡θ=tan^2⁡α\) হয়,তাহলে প্রমাণ করো \(cos^2⁡α-sin^2⁡α=tan^2⁡θ\)

2. যদি একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ \(r\) একক, উচ্চতা \(h\) একক এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(S\) বর্গএকক হয়, তাহলে প্রমাণ কর \(h=\cfrac{\sqrt{s^2-π^2 r^4 }}{πr}\)

3. যদি দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 64:49 হয়, তাহলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত নির্ণয় করো।

4. যদি \(cosθ = \cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(xsinθ = y cosθ\)

5. যদি \(x∝y\) এবং \(y∝z\) হয়, প্রমাণ করো যে, \(x^2+y^2+z^2 ∝xy+yz+zx\)

6. যদি \(b∝a^3\) হয় এবং \(a\) এর বৃদ্ধি \(2:3\) অনুপাতে হয়, তাহলে \(b\) এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।

7. যদি \(x ∝\cfrac{1}{y}\) এবং \(y = 10\) হলে \(x = 5\) হয়, তাহলে \(y = 5\) হলে \(x\) এর মান নির্ণয় করো।

8. যদি নিম্নলিখিত পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকার মধ্যমা 27 হয়,তাহলে a-এর মান নির্ণয় করো:

9. যদি \(cotθ=\cfrac{x}{y}\) হয়,তবে প্রমাণ করো যে, \(\cfrac{xcosθ-ysinθ}{xcosθ+ysinθ}=\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

10. যদি \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় \(\cfrac{1}{2}\) অথবা \(-1\) । Madhyamik 2017 , 2011

11. যদি \(\cfrac{b+c−a}{y+z−x}=\cfrac{c+a−b}{z+x−y}=\cfrac{a+b−c}{x+y−z}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে,\(\cfrac{a}{x}=\cfrac{b}{y}=\cfrac{c}{z}\) । Madhyamik 2019

12. প্রমাণ করো যে, যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তাহলে স্পর্শ বিন্দুটি কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরলরেখাশের উপর অবস্থিত হবে । Madhyamik 2019

13. যদি \(\cfrac{ay−bx}{c}=\cfrac{cx−az}{b}=\cfrac{bz−cy}{a}\) হয়, তবে প্রমাণ করো \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\) Madhyamik 2020 , 2003

14. যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করে, তাহলে স্পর্শবিন্দুটি কেন্দ্রদ্বয়ের সংযােজক সরলরেখার উপর অবস্থিত হবে–প্রমাণ করো। Madhyamik 2015

15. যদি \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) এবং \(a+b+c\ne 0\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(a=b=c\) Madhyamik 2007

16. যদি \(y∝x^3\) হয় এবং \(x\) এর বৃদ্ধি \(2:3\) অনুপাতে হয়, তাহলে \(y\) এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।

17. ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর উপর D ও E বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে DE || BC এবং AD:DB=3:1; যদি EA-3.3. সেমি হয়, তাহলে AC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

18. যদি sinA+sinB=2 হয়, যেখানে 0°≤ A≤ 90° এবং 0°≤B≤ 90°, তাহলে (cos A+ cos B)-এর মান নির্ণয় করো।

19. যদি \(3x-4y∝ \sqrt{xy}\) হয়,তবে প্রমাণ করো, \(x^2+y^2∝xy\)

20. যদি \(a,b,c\) ও \(d\) ক্রমিক সমানুপাতী হয়,তবে প্রমাণ করো \((b-c)^2+(c-a)^2+(b-d)^2=(a-d)^2\)

21. যদি \(b∝a^3\) হয় এবং \(a\) এর বৃদ্ধি \(2:3\) অনুপাতে হয়, তাহলে \(b\) এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।

22. যদি \(0°< θ <90°\) হয়, তাহলে \((9 tan^2⁡θ+4 cot^2⁡θ)\)-এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করো।

23. একটি সরলরেখা \(\triangle\)PQR-এর PQ ও PR-কে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে \(\frac{PX}{XQ}=\frac{PY}{YR}\) যদি \(\angle\)PXY=\(\angle\)PRQ হয়, তাহলে প্রমাণ করাে যে,\(\triangle\)PQR সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

24. একটি ঘনবস্তুর নীচের অংশ অর্ধগোলক আকারের এবং উপরের অংশ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আকারের। যদি দুটি অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান হয়, তাহলে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করো।

25. যদি একটি 18 মিটার উঁচু পাঁচতলা বাড়ির ছাদ থেকে দেখলে একটি মনুমেন্টের চুড়ার উন্নতি কোণ 45° এবং মনুমেন্টের পাদদেশের অবনতি কোণ 60° হয়, তাহলে মনুমেন্টের উচ্চতা নির্ণয় করো। (√3=1.732)

26. প্রমাণ করো যে, যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে তাহলে স্পর্শবিন্দুটি কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরলরেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।

27. যদি \(r cos\theta=2\sqrt3, r sin\theta =2\) এবং \(0°\lt \theta \lt <90°\) হয়, তাহলে \(r\) এবং \(\theta\) এর মান নির্ণয় করো।

28. প্রমাণ করো যে, যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করে তাহলে স্পর্শবিন্দুটি তাদের কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরল রেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।

29. যদি \(\cfrac{ay−bx}{c}=\cfrac{cx−az}{b}=\cfrac{bz−cy}{a}\) হয়, তবে প্রমাণ করো \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\)

30. যদি \(sec3\theta=cosec2\theta\) এবং \(3\theta\) একটি ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হয়, তাহলে \(\theta\) এর মান নির্ণয় করো।