---

ধরি,সাথির আঁকা সমকোনী ত্রিভূজের ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) সেমি ।
∴ত্রিভূজটির অতিভূজের দৈর্ঘ্য \(=2x+6\) সেমি
তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য \(=(2x+6)-2=2x+4\) সেমি ।

আমরা জানি,সমকোণী ত্রিভূজের (অতিভূজ)\(^2\)=(লম্ব )\(^2\)+(ভূমি)\(^2\)
বা, \((2x+6)^2=(x)^2+(2x+4)^2 \)
বা, \((2x)^2+2.2x.6+(6)^2=x^2+(2x)^2+2.2x.4+(4)^2\)
বা, \(4x^2+24x+36=x^2+4x^2+16x+16\)
বা, \(4x^2+24x+36-5x^2-16x-16=0 \)
বা, \(-x^2+8x+20=0 \)
বা, \(x^2-8x-20=0 \)

---

উৎপাদকে বিশ্লেষণের সাহায্যে
\(x^2-8x-20=0 \)
বা, \(x^2-(10-2)x-20=0 \)
বা, \(x^2-10x+2x-20=0 \)
বা, \(x(x-10)+2(x-10)=0 \)
বা, \((x-10)(x+2)=0\)

∴হয়, \((x-10)=0\) অথবা, \((x+2)=0\)

যখন \((x-10)=0\),তখন \(x=10 \)
আবার যখন \((x+2)=0\),তখন, \(x=-2 \)
[কিন্তু ত্রিভূজের বাহু ঋণাত্বক হতে পারে না ]

---

শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে
\(x^2-8x-20=0\) সমীকরনটিকে \(ax^2+bx +c=0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
\(a=1,b=-8\) এবং \(c=-20\)

\(∴b^2-4ac=(-8)^2-4×1×-20=64+80=144\)

শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই
\(x=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \cfrac{8\pm \sqrt{144}}{2×1}=\cfrac{8±12}{2}\)

∴হয় \(x=\cfrac{8+12}{2}=\cfrac{20}{2}=10\)
অথবা, \(x=\cfrac{8-12}{2}=-\cfrac{4}{2}=-2\)
[কিন্তু ত্রিভূজের বাহু ঋণাত্বক হতে পারে না ]

---

∴ত্রিভূজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য \(=10\) সেমি ।
অতিভূজের দৈর্ঘ্য \(=2×10+6=26\) সেমি ।
এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য \(=26-2=24\) সেমি ।

∴সাথির আঁকা সমকোণী ত্রিভূজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(10\) সেমি, \(24\) সেমি ও \(26\) সেমি ।