1. যদি \(sin \alpha = m sin\beta\) এবং\( tan \alpha = n tan\beta \) হয় তবে প্রমাণ করো যে \( cos^2\alpha =\cfrac{m^2 - 1}{n^2 -1}\)

2. যদি \((u^2+v^2) ∝(x^2+y^2) \) এবং \(uv∝xy\) হয় তবে দেখাও যে \((u+v)∝(x+y)\) যখন \(\cfrac{u}{v}+\cfrac{v}{u}\) \(=\cfrac{x}{y}+\cfrac{y}{x}\)

3. যদি \(a^2=by+cz\), \(b^2=cz+ax\) এবং \(c^2=ax+by\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{x}{a+x}+\cfrac{y}{b+y}+\cfrac{z}{c+z}=1\) Madhyamik 2013

4. যদি \(x=asinθ\) এবং \(y = b tanθ\) হয় তবে প্রমাণ করে যে, \(\cfrac{a^2}{x^2} - \cfrac{b^2}{y^2} =1\)

5. যদি \(x = \cfrac{√3+1}{√3-1}\) এবং \(y = \cfrac{√3-1}{√3+1}\) হয়, তবে দেখাও যে \(\cfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} =\cfrac{7√3}{12}\)

6. যদি \(sin18° = \cfrac{x}{y}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(sec⁡18°-sin⁡72°=\cfrac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\)

7. যদি \((b + c - a)x = (c + a - b)y\) \( = (a + b - c)z = 2\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\left(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}\right)\left(\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\right)\left(\cfrac{1}{z}+\cfrac{1}{x}\right)=abc\) Madhyamik 2017

8. যদি, \(x=cy+bz, y=az+cx\) এবং \(z=bx+ay\) হয় তবে প্রমান কর যে, \(\cfrac{x^2}{1-a^2}=\cfrac{y^2}{1-b^2}=\cfrac{z^2}{1-c^2}\)

9. \(\cfrac{x}{y}\propto x+y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x-y\) হয় তাহলে দেখাও যে \(x^2-y^2 =\) ধ্রুবক।

10. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto x + y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x - y\) হয় তবে দেখাও যে \(x^2-y^2\) ধ্রুবক। y

11. যদি \(sin17°=\cfrac{x}{y}\) হয় তাহলে দেখাও যে, \(sec17°-sin73°= \cfrac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\) Madhyamik 2024

12. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto x+y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x-y\) হয়, তবে দেখাই যে \(x^2-y^2\) = ধ্রুবক।

13. যদি \(sin α = \cfrac{5}{13}\) হয়, তাহলে দেখাই যে \(tanα +secα = 1.5 \)

14. যদি \(x=asinθ\) এবং \(y=btanθ\) হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, \(\cfrac{a^2}{x^2} -\cfrac{b^2}{y^2} =1\)

15. যদি \(sinθ +sin^2 θ=1\) হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, \(cos^2 θ+cos^4 θ=1\)

16. যদি \(sin(2x-30°)=cos(2y+30°)\) হয়, তবে \(tan(x+y)\)-এর মান নির্ণয় করো।

17. যদি \(sinθ−cosθ=0,\) \( (0°<θ<90°)\) এবং \(secθ+cosecθ=x\), হয় তাহলে \(x\) এর মান — Madhyamik 2020

(a) \(1\) (b) \(2\) (c) \(\sqrt2\) (d) \(2\sqrt2\)

18. \(x\) বাস্তব ধণাত্বক সংখ্যা এবং \(sin x=\cfrac{2}{3}\) হলে, \(tan x\) এর মান কত ?

(a) \(\cfrac{2}{\sqrt5}\) (b) \(\cfrac{\sqrt5}{2}\) (c) \(\sqrt{\cfrac{5}{3}}\) (d) \(\cfrac{\sqrt5}{\sqrt2}\)

19. যদি \(cosθ = \cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(xsinθ = y cosθ\)

20. যদি \(cotθ=\cfrac{x}{y}\) হয়,তবে প্রমাণ করো যে, \(\cfrac{xcosθ-ysinθ}{xcosθ+ysinθ}=\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

21. যদি \(x=cy+bz; y=az+cx\) এবং\( z=bx+ay\) হয় , তাহলে প্রমান করো যে
\( \cfrac{x^2}{1-a^2}=\cfrac{y^2}{1-b^2}\) Madhyamik 2014

22. \(x, y\) ধনাত্বক সূক্ষ্মকোণ, \(x+y \lt 90°\) এবং \(\sin(2x-20°)=\cos(2y+20°)\) হলে \(\tan(x+y)\) এর মান নির্ণয় করো । Madhyamik 2008

23. \(x \cos \theta=3\) এবং \(4\tan \theta=y\) হলে \(x\) এবং \(y\) এর মধ্যে \(\theta\) বর্জিত সম্পর্কটি কি ? Madhyamik 2005

24. যদি \(x=\cfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\)এবং \(y =\cfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\) হয় তবে, \(\cfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\) -এর সরলতম মান নির্ণয় করাে

25. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto x+y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x – y\) হয়, তবে দেখাও যে, \((x^2 –y^2)\) একটি ধ্রুবক রাশি।

26. যদি \(x =\cfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\) এবং \(xy=1\) হয়, প্রমাণ করাে যে, \(\cfrac{x^2}{y}+\cfrac{y^2}{x}\) এর সরলতম মান 52

27. যদি \(x = \cfrac{1+sinθ}{cosθ}\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(x^2-2xtanθ-1=0\)

28. যদি \(x =\cfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\) এবং \(xy=1\) হয়, প্রমাণ করাে যে, \(\cfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = \cfrac{7\sqrt{3}}{12}\)

29. যদি দ্বিঘাত সমীকরণের \(ax^2+bx+c=0\) এর বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:r\) হয়, তবে দেখাও যে \((r+1)^2ac=b^2r\)

30. যদি \(x =\cfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\) এবং \(y =\cfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\) হয়, প্রমাণ করাে যে, \(\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \cfrac{12}{7\sqrt{3}}\)