---

প্রদত্তঃ \(\triangle\)ABC এর \(\angle\)A=90\(^o\) এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা ।
প্রমান করতে হবে যেঃ 5BC\(^2\)=4(BP\(^2\)+CQ\(^2\))
প্রমানঃ সমকোণী ত্রিভূজ \(\triangle\)ABC থেকে পাই,
BC\(^2\)=AB\(^2\)+AC\(^2\)=(2AP)\(^2\)+(2AQ)\(^2\)=4(AP\(^2\)+AQ\(^2\))

আবার, সমকোণী ত্রিভূজ \(\triangle\)ABP থেকে পাই,
BP\(^2\)=AB\(^2\)+AP\(^2\)=(2AQ)\(^2\)+AP\(^2\)=4AQ\(^2\)+AP\(^2\)
এবং, সমকোণী ত্রিভূজ \(\triangle\)ACQ থেকে পাই,
CQ\(^2\)=AC\(^2\)+AQ\(^2\)=(2AP)\(^2\)+AQ\(^2\)=4AP\(^2\)+AQ\(^2\)

\(\therefore\) BP\(^2\)+CQ\(^2\)=4AQ\(^2\)+AP\(^2\)+4AP\(^2\)+AQ\(^2\)
বা, BP\(^2\)+CQ\(^2\)=5AP\(^2\)+5AQ\(^2\)=5(AP\(^2\)+AQ\(^2\))
বা, 4(BP\(^2\)+CQ\(^2\))=4\(\times\)5(AP\(^2\)+AQ\(^2\))

=5\(\times\)4(AP\(^2\)+AQ\(^2\))

=5BC\(^2\)

\(\therefore\) 5BC\(^2\)=4(BP\(^2\)+CQ\(^2\)) [প্রমাণিত]