একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা ভূমির ব্যাসের 7 গুণ হতো তবে শঙ্কুটির আয়তন 539 ঘনসেমি বেশি হত। শঙ্কুটির উচ্চতা নির্ণয় করো। Madhyamik 2023
ধরি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ \(=r\) সেমি
সুতরাং শঙ্কুটির ভূমির ব্যাস \(=2r\) সেমি
\(\therefore\) শঙ্কুটির উচ্চতা \((h)=2r\) সেমি ।
\(\therefore\) এখন শঙ্কুটির আয়তন \(=\cfrac{1}{3}\pi r^2 h\) ঘন সেমি
\(=\cfrac{1}{3}\pi r^2 \times 2r =\cfrac{2}{3}\pi r^3\) ঘন সেমি ।
এখন উচ্চতা ভূমির ব্যাসের 7 গুন হলে, শঙ্কুটির উচ্চতা \(=2r\times 7\) সেমি \(=14r\) সেমি
সুতরাং শঙ্কুটির আয়তন \(=\cfrac{1}{3}\pi r^2\times 14r\) ঘন সেমি
\(=\cfrac{14}{3}\pi r^3\) ঘন সেমি ।
প্রশ্নানুসারে, \(\cfrac{14}{3}\pi r^3-\cfrac{2}{3}\pi r^3 =539\)
বা, \(\cfrac{12}{3}\pi r^3=539\)
বা, \(\cfrac{12}{3}\times \cfrac{22}{7} r^3=539\)
বা, \(r^3=\cfrac{\cancel{539}49\times 7\times \cancel3}{\cancel{22}2\times \cancel{12}4}=\cfrac{49\times 7}{2\times 4}\)
বা, \(r^3=\cfrac{7\times 7\times 7}{2\times 2\times 2}\)
বা, \(r=\cfrac{7}{2}\)
\(\therefore\) শঙ্কুর উচ্চতা \(=2h \) সেমি \(=2\times \cfrac{7}{2}\) সেমি \(=7\) সেমি ।