\((a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2\)

\(a,b,c,d\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে, \((a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2\)

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ধরি, \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{b}{c}=\cfrac{c}{d}=k\) (যেখানে, \(k\ne0\))
সুতরাং, \(a=bk,b=ck,c=dk\)
\(\therefore b=dk.k=dk^2\)
এবং \(a=dk^2.k=dk^3\)

বামপক্ষ\(=(a^2+b^2+c^2 )(b^2+c^2+d^2 )\)
\(=\{(dk^3 )^2+(dk^2 )^2+(dk)^2 \}\)\(\{(dk^2 )^2+(dk)^2+d^2 )\}\)
\(=\{d^2 k^6+d^2 k^4+d^2 k^2 \} \{d^2 k^4+d^2 k^2+d^2 \}\)
\(=d^2 k^2 (k^4+k^2+1).d^2 (k^4+k^2+1)\)
\(=d^4 k^2 (k^4+k^2+1)^2 \)

ডানপক্ষ\(=(ab+bc+cd)^2\)
\(=(dk^3.dk^2+dk^2.dk+dk.d)^2\)
\(=(d^2 k^5+d^2 k^3+d^2 k)^2\)
\(=\{d^2 k(k^4+k^2+1) \}^2\)
\(=d^4 k^2 (k^4+k^2+1)^2\)

∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ (প্রমানিত)

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