1. একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত ∆ABC; বৃত্তের ব্যাস AD এবং AE, BC বাহুর উপর লম্ব যা BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, ∆AEB এবং ∆ACD সদৃশকোণী। এর থেকে প্রমাণ করি যে, AB.AC=AE.AD.

2. \(\triangle\)ABC-এর শীর্ষবিন্দু A থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব অঙ্কন করেছি যা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং AD\(^2\) = BD.CD হলে, প্রমাণ করি যে, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং \(\angle\)A = 90\(^o\)

3. ABC ত্রিভুজের O লম্ববিন্দু এবং BC-এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD-কে বর্ধিত করলে ΔABC-এর পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, OD = DG

4. একটি বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। AB ও CD জ্যা দুটির ছেদবিন্দু P থেকে AD-এর উপর অঙ্কিত লম্বকে বর্ধিত করলে সেটি BC-কে E বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ করি যে, E, BC-এর মধ্যবিন্দু।

5. ∆ABC এবং ∆DBC একই ভূমি BC-এর উপর এবং BC-এর একই পার্শ্বে অবস্থিত। BC বাহুর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। E বিন্দু দিয়ে AB এবং BD-এর সমান্তরাল সরলরেখা AC এবং DC বাহুকে যথাক্রমে F ও G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, AD || FG.

6. কোনো বৃত্তের XY একটি ব্যাস। বৃত্তটির উপর অবস্থিত A বিন্দুতে PAQ বৃত্তের স্পর্শক। X বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব PAQ-কে Z বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, XA, ∠XYZ-এর সমদ্বিখণ্ডক।