1. যদি \((b + c - a)x = (c + a - b)y\) \( = (a + b - c)z = 2\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\left(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}\right)\left(\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\right)\left(\cfrac{1}{z}+\cfrac{1}{x}\right)=abc\) Madhyamik 2017

2. যদি \(∠P+∠Q=90^o\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\sqrt{\cfrac{sinP}{cosQ}}−sinPcosQ=cos^2P\) Madhyamik 2019

3. যদি \(a : b = b : c\) হয়, তবে দেখাও যে, \(abc (a+b+c)^3 = (ab + bc + ca)^3\) Madhyamik 2012

4. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto x+y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x – y\) হয়, তবে দেখাও যে, \((x^2 –y^2)\) একটি ধ্রুবক রাশি।

5. যদি \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{a}{a+1}+\cfrac{b}{b+1}+\cfrac{c}{c+1}=2\)

6. যদি \(a+\cfrac{1}{b}=1\) এবং \(b +\cfrac{1}{c}= 1\) হয়,তবে দেখাও যে, \(c+\cfrac{1}{a} =1\)

7. একটি সরল দোলকের দোলনকাল উহার দৈর্ঘ্যের বর্গমূলের সাথে সরলভেদে আছে। যদি L দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি দোলকের দোলনকাল T হয়, তবে দেখাও যে, 4L দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট দোলকের দোলনকাল 2T

8. যদি \(\cfrac{p}{q} \propto p+q\) এবং \(\cfrac{q}{p} \propto p-q\)- হয়, তবে দেখাও যে, \(p^2-q^2\)= ধ্রুবক ।

9. যদি \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{a+1}+\cfrac{1}{b+1}+\cfrac{1}{c+1}=1\)

10. যদি \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{a+1}+\cfrac{1}{b+1}+\cfrac{1}{c+1}=1\)

11. যদি \(\cfrac{b}{a+b}=\cfrac{a+c-b}{b+c-a}=\cfrac{a+b+c}{2a+b+2c}\) হয়, (যেখানে \(a+b+c \ne0\)) তবে দেখাও যে, \(\cfrac{a}{2}=\cfrac{b}{3}=\cfrac{c}{4}\)

12. যদি \(sin\theta=\cfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\) হয়, তবে দেখাও যে,\(cot\theta=\cfrac{2ab}{a^2-b^2}\) ।

13. যদি \(x = \cfrac{1}{2-\sqrt3}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{1}{x-2}+\cfrac{1}{x-\sqrt 3}=\cfrac{x}{2\sqrt3}\)

14. যদি \(sin\alpha=\cfrac{5}{13}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(tan\alpha+sec\alpha=\cfrac{3}{2}\)।

15. যদি \(cosθ = \cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(xsinθ = y cosθ\)

16. যদি \(x = \cfrac{√3+1}{√3-1}\) এবং \(y = \cfrac{√3-1}{√3+1}\) হয়, তবে দেখাও যে \(\cfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} =\cfrac{7√3}{12}\)

17. যদি \(α\) ও \(β\) দুটি পরস্পর পূরক কোণ হয়,দেখাও যে, \(\sqrt{\cfrac{tanα}{cotβ}+tanα.cotβ}= secα\)

18. যদি \(cotθ=\cfrac{x}{y}\) হয়,তবে প্রমাণ করো যে, \(\cfrac{xcosθ-ysinθ}{xcosθ+ysinθ}=\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

19. যদি \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় \(\cfrac{1}{2}\) অথবা \(-1\) । Madhyamik 2017 , 2011

20. দুই বন্ধু যথাক্রমে 40,000 টাকা ও 50,000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারি ব্যবসা শুরু করে । তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে । প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশ অপেক্ষা 800 টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ কত ? Madhyamik 2019

21. যদি \(\left(\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{y}\right)∝\cfrac{1}{x-y}\) হয় তবে দেখাও যে, \((x^2+y^2)∝xy\) । Madhyamik 2019

22. যদি \(\cfrac{b+c−a}{y+z−x}=\cfrac{c+a−b}{z+x−y}=\cfrac{a+b−c}{x+y−z}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে,\(\cfrac{a}{x}=\cfrac{b}{y}=\cfrac{c}{z}\) । Madhyamik 2019

23. △ABC -এর ∠C=90\(^o\), যদি BC = \(m\) এবং AC = \(n\) হয় তবে দেখাও যে, \(msinA+nsinB\) \(=\sqrt{m^2+n^2}\) Madhyamik 2019

24. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে দেখাও যে, প্রতিটি অনুপাতের মান হয় \(\cfrac{1}{2}\) না হয় -1 Madhyamik 2015

25. যদি \(\angle A+\angle B=90°\) হয়,তবে দেখাও যে, \(1+\cfrac{\tan A}{\tan B}=\tan^2 A \sec^2 B\) Madhyamik 2014 , 2011

26. যদি \(a^2=by+cz\), \(b^2=cz+ax\) এবং \(c^2=ax+by\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{x}{a+x}+\cfrac{y}{b+y}+\cfrac{z}{c+z}=1\) Madhyamik 2013

27. যদি \((a + b) \propto \sqrt{ab}\) হয়, তবে দেখাও যে \((\sqrt{a} + \sqrt{b}) \propto (\sqrt{a} - \sqrt{b})\) Madhyamik 2013

28. যদি \(x+y \propto x-y\) হয়, তবে দেখাও যে, \(x^3+y^3 \propto x^3-y^3\) Madhyamik 2010

29. যদি \(\cfrac{a}{b+c}=\cfrac{b}{c+a}=\cfrac{c}{a+b}\) এবং \(a+b+c\ne 0\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(a=b=c\) Madhyamik 2007

30. যদি \(a:b = b:c\) হয় তবে দেখাও যে, \(a^2 b^2 c^2 (\cfrac{1}{a^3} + \cfrac{1}{b^3} + \cfrac{1}{c^3}) = a^3+b^3+c^3\)