1. \(x ∝ y\) হলে, দেখাই যে, \(x+y ∝ x-y \)
2. \(x^2+y^2∝xy \)
3. \(x^3+y^3∝x^3-y^3 \)
4. \(ax+by ∝ px+qy\) [যেখানে \(a, b, p,q\) অশূন্য ধ্রুবক]
5. \(x^3+y^3∝x^3-y^3\) হলে, প্রমাণ করি যে, \(x+y ∝ x-y\)
6. \(x ∝ yz\) এবং \(y ∝ zx\) হলে, দেখাই যে, \(z\) একটি অশূন্য ধ্রুবক।
7. যদি \(x∝y\) এবং \(y∝z\) হয়, প্রমাণ করো যে, \(x^2+y^2+z^2 ∝xy+yz+zx\)
8. \(x∝y\) এবং \(y∝z\) হলে, হলে প্রমাণ করো, \((x^2+y^2+z^2)∝(xy+yz+zx)\) Madhyamik 2018
9. \(x+y ∝ x-y\) হলে প্রমাণ করো \(x^3+y^3\) \(∝x^3-y^3\)
10. \(x ∝ y\) এবং \(y=8\) যখন \(x=2; y=16\) হলে, \(x\)-এর মান -
(a) 2 (b) 8 (c) 6 (d) 4
11. \(\cfrac{x}{xa+yb+zc}=\cfrac{y}{ya+zb+xc} =\cfrac{z}{za+xb+yc} \) এবং \(x+y+z≠0\) হলে, দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত \(\cfrac{1}{a+b+c}\) এর সমান।
12. \(x ∝ y\) এবং \(y=8\) যখন \(x=2; y=16\) হলে, \(x\)-এর মান
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8
13. \(x ∝ y^2\) এবং \(y=4\) যখন \(x=8; x=32\) হলে, \(y\)-এর ধনাত্মক মান
(a) 4 (b) 8 (c) 16 (d) 32
14. \(x ∝ y\) হলে, \(x^n ∝ \) ___________
15. \(x ∝ y\) এবং \(x ∝ z\) হলে, \((y + z) ∝\) __________
16. যদি \(2x^2+3y^2∝xy\) তাহলে দেখাও \(x ∝ y\)
17. \(x∝ y\) এবং \(x ∝z\) হলে দেখাও যে \(x ∝ (y-z)\)
18. \( x∝yz\) এবং \(y∝zx\) হলে, দেখাও যে, \(z (≠ 0)\) একটি ধ্রুবক । Madhyamik 2017
19. যদি \(\left(\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{y}\right)∝\cfrac{1}{x-y}\) হয় তবে দেখাও যে, \((x^2+y^2)∝xy\) । Madhyamik 2019
20. \(x∝y, y∝z\)এবং \(z∝x\) হলে, ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করো । Madhyamik 2020
21. যদি \(x+y \propto x-y\) হয়, তবে দেখাও যে, \(x^3+y^3 \propto x^3-y^3\) Madhyamik 2010
22. যদি \(y∝x^3\) হয় এবং \(x\) এর বৃদ্ধি \(2:3\) অনুপাতে হয়, তাহলে \(y\) এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।
23. \(x+y = z\) এবং \(2x-z = y\) হলে, \(x:y: z\) = কত?
(a) 3:2:1 (b) 1:2:3 (c) 4:5:6 (d) 2:1:3
24. যদি \(3x-4y∝ \sqrt{xy}\) হয়,তবে প্রমাণ করো, \(x^2+y^2∝xy\)
25. \(\cfrac{1}{x^3}+\cfrac{1}{y^3} \propto \cfrac{1}{x^3+y^3}\) হলে, দেখাও যে, \(x \propto y\)
26. \(x∝y, y∝z\)এবং \(z∝x\) হলে, অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করাে।
27. \(x+y \propto x-y\) হলে দেখাও যে, \(ax+by \propto px+qy\)
28. যদি \(x+y \propto x-y\) হয়, তবে প্রমান করো যে, \(x^3+y^3\propto xy(x+y)\)
29. \(x^2+y^2 \propto xy\) হলে, প্রমান করো \(x+y\propto x-y\)
30. \(x\propto y\) এবং \(y\propto z\) হলে, প্রমাণ করাে যে, \(x^3+y^3+z^3 \propto xyz\)
31. \(x^2:(by+cz)=y^2:(cz+ax)=z^2:(ax+by)=1\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{a}{a+x}+\cfrac{b}{b+y}+\cfrac{c}{c+z}=1\)
32. \(x:a=y:b=z:c\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x^3}{a^3}+\cfrac{y^3}{b^3}+\cfrac{z^3}{c^3}=\cfrac{3xyz}{abc}\)
33. \(x ∝ y, y ∝ z\) এবং \(z ∝ x\) হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
34. \(x∝\cfrac{1}{y}\) হলে,
(a) \(x=\cfrac{1}{y}\) (b) \(y=\cfrac{1}{x}\) (c) \(xy=1\) (d) \(xy=\)অশূন্য ধ্রুবক
35. যদি \(x ∝ y\) হয়, তখন
(a) \( x^2∝y^3\) (b) \(x^3∝y^2 \) (c) \(x∝y^3\) (d) \(x^2∝y^2 \)
36. \(x∝\cfrac{1}{y}\) এবং \(y∝\cfrac{1}{z}\) হলে, \(x ∝\) __________
37. \(x ∝ y^2\) এবং \(y=2a\) যখন \(x=a; x\) ও \(y\)-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
38. \(x ∝ y, y ∝ z\) এবং \(z ∝ x\) হলে, অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করি।
39. \(x∝\cfrac{1}{y}\) এবং \(y∝\cfrac{1}{z}\) হলে, \(x, z\)-এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় করি।
40. \(x=\cfrac{√7+√3}{√7-√3}\) এবং \(xy=1\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}= \cfrac{12}{11}\)
41. \(x ∝\cfrac{1}{y}\) এবং \(y∝\cfrac{1}{z}\) হলে
(a) \(x ∝ z\) (b) \(x∝ \cfrac{1}{z}\) (c) \(x∝z^2\) (d) \(x∝√z\)
42. যদি \( x∝y\) হয়, তাহলে— Madhyamik 2018
(a) \(x^2∝y^3\) (b) \(x^3∝y^2\) (c) \(x∝y^2\) (d) \(x^2∝y^2\)
43. একটি সমকোণী চৌপলের কৌণিক বিন্দুর সংখ্যা \(x\), বাহুর সংখ্যা \(y\) এবং তলের সংখ্যা \(z\) হলে, \(x-y+z\)=কত?
(a) 8 (b) 6 (c) 2 (d) 12
44. \(sin (3x- 20°) = cos (3y + 20°)\) হলে \(x+y\) -এর মান কত?
(a) 60° (b) 30° (c) 45° (d) 90°
45. একটি সমকোণী চৌপলের কৌণিক বিন্দুর সংখ্যা \(x\) দ্বারা, প্রান্তদ্বয়ের সংখ্যা \(y\) দ্বারা এবং কর্ণের সংখ্যা \(z\) দ্বারা সুচিত হলে, \((x+3y-5z)\)-এর মান কত?
(a) 14 (b) 44 (c) 20 (d) 24
46. যদি \((u^2+v^2) ∝(x^2+y^2) \) এবং \(uv∝xy\) হয় তবে দেখাও যে \((u+v)∝(x+y)\) যখন \(\cfrac{u}{v}+\cfrac{v}{u}\) \(=\cfrac{x}{y}+\cfrac{y}{x}\)
47. যদি \(x ∝\cfrac{1}{y}\) এবং \(y = 10\) হলে \(x = 5\) হয়, তাহলে \(y = 5\) হলে \(x\) এর মান নির্ণয় করো।
48. \((x+y)∝ (x-y)\)হলে \((x^2+y^2) ∝xy\) হবে।
49. \(\cfrac{x}{y}\lt 1\) হলে, \(x:y\) কে _____অনুপাত বলে।
50. \(x : a = y : b = z : c\) হলে, দেখাও যে, \((a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)\) \( = (ax + by + cz)^2\) Madhyamik 2018
51. \(x∝y^2\) এবং \(y=2a , x=a\) হলে দেখাও যে \(y^2=4ax\) । Madhyamik 2019
52. \(\cos \theta=\cfrac{x}{y} (x\ne y)\) হলে, \(x\) ও \(y\) এর মধ্যে কোনটি ছোট এবং কেন ? Madhyamik 2011
53. \(x, y\) ধনাত্বক সূক্ষ্মকোণ, \(x+y \lt 90°\) এবং \(\sin(2x-20°)=\cos(2y+20°)\) হলে \(\tan(x+y)\) এর মান নির্ণয় করো । Madhyamik 2008
54. \(x^3+y^3 \propto x^3-y^3\) হলে প্রমাণ করাে \(x+y \propto x-y\)
55. \(x \propto y\) এবং \(y \propto z\) হলে দেখাও যে, \(x + y \propto z\) হবে।
56. বার্ষিক 4% হার সুদে \(x\) বছরে সবৃদ্ধিমূল \(y\) টাকা হলে, আসল হবে –
(a) \(4xy\) টাকা (b) \(\cfrac{4x}{100+y}\) টাকা (c) \(\cfrac{100y}{100+4x}\) টাকা (d) \(\cfrac{100x}{4}\) টাকা
57. যদি, \(x=cy+bz, y=az+cx\) এবং \(z=bx+ay\) হয় তবে প্রমান কর যে, \(\cfrac{x^2}{1-a^2}=\cfrac{y^2}{1-b^2}=\cfrac{z^2}{1-c^2}\)
58. \((4x-3y) : (2x- y) =2:3\) হলে, \(x: y\) = কত?
(a) 15:14 (b) 8:7 (c) 7:8 (d) 14:15
59. \(x+y= \sqrt{5}\), \(x-y = \sqrt{3}\) হলে, \(8xy(x^2+y^2)\) -এর মান কত?
(a) 16 (b) 20 (c) 50 (d) 32
60. বার্ষিক \(x\%\) সরল সুদের হারে কোনো মূলধনের \(y\) বছরে মোট সুদ \(\cfrac{pyx}{25}\) টাকা হলে, মূলধনের পরিমাণ হবে
(a) \(2p\) টাকা (b) \(4p\) টাকা (c) \(\cfrac{p}{2}\) টাকা (d) \(\cfrac{p}{4}\) টাকা
61. \(x, y\) এর বর্গের সাথে সরলভেদে এবং \(z\) -এর ঘনমুলের সাথে ব্যস্ত ভেদে থাকে। \(y = 8, z = 8, x = 16\) হয়। \(x = 24, z = 27\) হলে, \(y =\) কত হবে?
(a) \(\pm{16}\) (b) \(\pm{14}\) (c) \(\pm{12}\) (d) \(\pm{10}\)
62. \(x \propto \sqrt{y}\) এবং \(z \propto \sqrt[3]{x}\) হলে, \(y\) ও \(z\) এর মধ্যে সম্পর্ক কী?
(a) \(z^6 \propto y\) (b) \(y^6 \propto z\) (c) \(z^2 \propto y\) (d) \(y^2 \propto z\)
63. \(\cfrac{(5+\sqrt{3})}{(5-\sqrt{3})}=x-\sqrt{15}y\) হলে \(x+y\) এর মান নির্ণয় কর।
64. \(x=\cfrac{4ab}{a+b}\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+2a}{x-2a}+\cfrac{x+2b}{x-2b}=2\)
65. \(y ∝ \cfrac{1}{x}\) হলে, \(\cfrac{x}{y}\) = অশূন্য ধ্রুবক।
66. \(30\) এর উৎপাদক \(x, y\) হলে, প্রদত্ত কোনটি সঠিক –
(a) \(x \propto y\) (b) \(x^2 \propto y\) (c) \(x \propto \cfrac{1}{y}\) (d) \(x \propto y^2\)
67. \((5x - 3y) : (2x + 4y) = 11:12\) হলে, \(x:y\) নির্ণয় করাে।
(a) 19 : 40 (b) 40 : 19 (c) 19 : 21 (d) 40 : 21
68. \(x\propto \cfrac{1}{y}\) হলে \(x+y\)এর মান ক্ষুদ্রতম হবে যখন _____
69. \(x \propto \cfrac{1}{z}, z\propto \cfrac{1}{y}\) - হলে, \(x\) এবং \(y\) এর মধ্যে ভেদ সম্পর্কটি হল _____
70. \((5x - 3y) : (2x + 4y) = 11:12\) হলে, \(x:y\) নির্ণয় করাে।
71. একটি আয়তঘনের তল সংখ্যা \(x\) ধার সংখ্যা \(y\) শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা \(z\) এবং কর্ণের সংখ্যা \(p\) হলে \(x+y+z+p\) -এর মান কত তা লিখি।
72. একটি আয়তঘনের শীর্ষবিন্দু সংখ্যা \(x\) , তলসংখ্যা \(y\) ও প্রান্তরেখার সংখ্যা \(z\) হলে, \((x+y-z)\) এর মান হবে 2
73. \(x+y: x+y= 5:1\) হলে \(x:y\) এর মান হল
(a) 5:1 (b) 1:5 (c) 3:2 (d) 2:3
74. যদি \(y-z∝\cfrac{1}{x} , z-x∝\cfrac{1}{y}\) এবং \(x-y∝\cfrac{1}{z}\) হয়, তাহলে ভেদ ধ্রুবক তিনটির যোগফল 0
75. \(x \propto \cfrac{1}{z}, z\propto \cfrac{1}{y}\) - হলে, \(x\) এবং \(y\) এর মধ্যে ভেদ সম্পর্কটি হল ব্যাস্তানুপাতী
76. \(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}\propto \cfrac{1}{x+y}\) হলে দেখাও যে, \(x\propto y\)
77. \(x=\cfrac{8ab}{a+b}\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+4a}{x-4a}+\cfrac{x+4b}{x-4b}=2\)
78. \(x \propto \cfrac{1}{y}\) হলে \(x+y\) এর মান ক্ষুদ্রতম হবে যখন \(x=y\)
79. \(x+y \propto x-y\) হলে প্রমাণ করাে \(x^4+y^4 \propto x^2y^2\)
80. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর, আয়তন \(x\) ঘনএকক এবং ভূমিতলের ক্ষেত্রফল \(y\) বর্গএকক হলে, উচ্চতা _____।
81. যদি \(\cfrac{1}{y}-\cfrac{1}{x}\propto \cfrac{1}{x-y}\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(x\propto y\)
82. A, B, C তিন বন্ধু যথাক্রমে \(x, 2x, y\) টাকা মূলধন নিয়ে ব্যবসা শুরু করল, মেয়াদান্তে \(z\) টাকা লাভ হলে, A-এর লভ্যাংশ হবে Madhyamik 2023
(a) \(\cfrac{xz}{3x+y}\) টাকা (b) \(\cfrac{2xz}{3x+y}\) টাকা (c) \(\cfrac{z}{2x+y}\) টাকা (d) \(\cfrac{xyz}{3x+y}\) টাকা
83. \(x\propto y\) এবং \(y\propto z\) হলে, দেখাও যে \(\cfrac{x}{yz}+\cfrac{y}{zx}+\cfrac{z}{xy}\propto \cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\) Madhyamik 2023
84. \((5x-3y):(2x+4y)=11:12\) হলে, \(x:y\) নির্ণয় করি ।
85. \(\cfrac{x^3}{a^2} +\cfrac{y^3}{b^2} +\cfrac{z^3}{c^2} =\cfrac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}\)
86. \(\cfrac{x^3+y^3+z^3}{a^3+ b^3+ c^3}=\cfrac{xyz}{abc}\)
87. \((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2\)
88. \(\cfrac{ax+by}{a}=\cfrac{bx-ay}{b}\) হলে দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত \(x\) এর সমান ।
89. \(\cfrac{x+y}{3a-b}=\cfrac{y+z}{3b-c}=\cfrac{z+x}{3c-a} \) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+y+z}{a+b+c}=\cfrac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\)
90. \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c} \) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x^2-yz}{a^2-bc}=\cfrac{y^2-zx}{b^2-ca}=\cfrac{z^2-xy}{c^2-ab} \)
91. \(x,12,y,27\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে, \(x\) ও \(y\)-এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করি।
92. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto x+y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x-y\) হয়, তবে দেখাই যে \(x^2-y^2\) = ধ্রুবক।
93. \(x\propto y\) এবং \(y \propto z\) হলে, প্রমাণ করি যে \(x^2+y^2+z^2 \propto xy+yz+zx\)
94. যদি \(cosθ= \cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(xsinθ=ycosθ\)
95. \(x tan 30° + y cot 60° = 0\) এবং \(2x –y tan 45° = 1\) হলে, \(x\) ও \(y\)-এর মান হিসাব করে লিখি।
96. \(A∝\cfrac{1}{C} , C∝\cfrac{1}{B}\) হলে, দেখাই যে, \(A ∝ B\)
97. যদি \(y-z∝\cfrac{1}{x} , z-x∝\cfrac{1}{y}\) এবং \(x-y∝\cfrac{1}{z}\) হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি
(a) 0 (b) 1 (c) -1 (d) 2
98. \(y∝\cfrac{1}{x}\) হলে, \(\cfrac{y}{x}\)=অশূন্য ধ্রুবক
99. \(x ∝ z\) এবং \(y ∝ z\) হলে \(xy ∝ z\)