পাশের ছবির মতো C ও D কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা।পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PK অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে,<br/> (i) \(\angle\)PBQ= \(\angle\)CAD (ii) \(\angle\)BPC= \(\angle\)BQD

পাশের ছবির মতো C ও D কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা।পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PK অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে,
(i) \(\angle\)PBQ= \(\angle\)CAD (ii) \(\angle\)BPC= \(\angle\)BQD

অঙ্কনঃ B,C ও B,D যুক্ত করা হল।
প্রমানঃ AP চাপের ওপর অবিস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\)ACP এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\)ABP
∴\(\angle\)ACP=2\(\angle\)ABP---(i)

আবার,AQ চাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\)ADQ এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\)ABQ
∴\(\angle\)ADQ=2\(\angle\)ABQ---(ii)

∆ACP থেকে পাই,CP=CA [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴\(\angle\)PAC=\(\angle\)CPA
অর্থাৎ,\(\angle\)ACP=180°-(\(\angle\)PAC+\(\angle\)CPA) =180°-2\(\angle\)PAC---(iii)

∆ADQ থেকে পাই,AD=DQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴\(\angle\)DAQ=\(\angle\)AQD
অর্থাৎ,\(\angle\)ADQ=180°-(\(\angle\)DAQ+\(\angle\)ADQ) =180°-2\(\angle\)DAQ---(iv)

(i)এবং (ii)নং সমীকরন যোগ করে পাই,
\(\angle\)ACP+\(\angle\)ADQ=2\(\angle\)ABP+2\(\angle\)ABQ
বা,180°-2\(\angle\)PAC+180°-2\(\angle\)DAQ=2(\(\angle\)ABP+\(\angle\)ABQ) [(iii)এবং (iv)নং সমীকরনের মান বসিয়ে]
বা,2[180°-(\(\angle\)PAC+\(\angle\)DAQ) ]=2\(\angle\)PBQ
বা,2\(\angle\)CAD=2\(\angle\)PBQ
∴\(\angle\)CAD=\(\angle\)PBQ
অর্থাৎ,\(\angle\)PBQ=\(\angle\)CAD [ (i) নং প্রমানিত]

∆ABC থেকে পাই,CB=CA[একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴\(\angle\)CAB=\(\angle\)CBA

∆ABD থেকে পাই,DB=DA[একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴\(\angle\)DAB=\(\angle\)DBA

∴ \(\angle\)CAB+\(\angle\)DAB=\(\angle\)CBA+\(\angle\)DBA
বা,\(\angle\)CAD=\(\angle\)CBD
কিন্তু আবার,\(\angle\)CAD=\(\angle\)PBQ [পূর্বে প্রমানিত]
∴\(\angle\)CBP=\(\angle\)DBQ
[∵CP=CB∴\(\angle\)BPC=\(\angle\)CPB এবং ∵DB=DQ∴\(\angle\)DBQ=\(\angle\)PBQ)] বা,\(\angle\)BPC=\(\angle\)BQD [(ii) নং প্রমানিত]