1. \(x^2:(by+cz)=y^2:(cz+ax)=z^2:(ax+by)=1\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{a}{a+x}+\cfrac{b}{b+y}+\cfrac{c}{c+z}=1\)

2. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির একটি বীজ অপর টির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে, \(2b^2=9ac\)

3. \(x=\cfrac{4ab}{a+b}\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+2a}{x-2a}+\cfrac{x+2b}{x-2b}=2\)

4. \(x=\cfrac{8ab}{a+b}\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+4a}{x-4a}+\cfrac{x+4b}{x-4b}=2\)

5. \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণটির একটি বীজ অপর টির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে, \(2b^2=9ac\)

6. \((a^2+b^2):(a^2-b^2)=(ac+bd):(ac-bd)\)

7. \((a^2+ab+b^2): (a^2-ab+b^2)= (c^2+cd+d^2) : (c^2-cd+d^2)\)

8. \(\sqrt{a^2+c^2} ∶ \sqrt{b^2+d^2 } = (pa+qc):(pb+qd)\)

9. \(\cfrac{x+y}{3a-b}=\cfrac{y+z}{3b-c}=\cfrac{z+x}{3c-a} \) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x+y+z}{a+b+c}=\cfrac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\)

10. \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c} \) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x^2-yz}{a^2-bc}=\cfrac{y^2-zx}{b^2-ca}=\cfrac{z^2-xy}{c^2-ab} \)

11. \(\cfrac{a^2}{b+c}=\cfrac{b^2}{c+a}=\cfrac{c^2}{a+b} =1\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{1}{1+a}+\cfrac{1}{1+b} +\cfrac{1}{1+c}=1\)

12. \(\cfrac{x}{xa+yb+zc}=\cfrac{y}{ya+zb+xc} =\cfrac{z}{za+xb+yc} \) এবং \(x+y+z≠0\) হলে, দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত \(\cfrac{1}{a+b+c}\) এর সমান।

13. \(x:a=y:b=z:c\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x^3}{a^3}+\cfrac{y^3}{b^3}+\cfrac{z^3}{c^3}=\cfrac{3xyz}{abc}\)

14. ∠A+∠B= 90° হলে, দেখাই যে, \(1+ \cfrac{\tan A}{\tan B} = \sec^2 A\)

15. cosθ =0.6 হলে, দেখাই যে, (5sinθ - 3tanθ) = 0

16. \(x ∝ y\) হলে, দেখাই যে, \(x+y ∝ x-y \)

17. \(A∝\cfrac{1}{C} , C∝\cfrac{1}{B}\) হলে, দেখাই যে, \(A ∝ B\)

18. \(x^2+y^2∝xy \)

19. \(x^3+y^3∝x^3-y^3 \)

20. \(ax+by ∝ px+qy\) [যেখানে \(a, b, p,q\) অশূন্য ধ্রুবক]

21. \(x ∝ yz\) এবং \(y ∝ zx\) হলে, দেখাই যে, \(z\) একটি অশূন্য ধ্রুবক।

22. \(x=\cfrac{√7+√3}{√7-√3}\) এবং \(xy=1\) হলে, দেখাই যে, \(\cfrac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}= \cfrac{12}{11}\)