1. যদি \(a:b=b:c\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(a^2b^2c^2\left(\cfrac{1}{a^3} +\cfrac{1}{b^3} +\cfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3\)

2. যদি \(a:b=b:c\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(\cfrac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3} =1\)

3. যদি \(\cfrac{a+b}{b+c}=\cfrac{c+d}{d+a}\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(c=a\) অথবা \(a+b+c+d=0\)

4. যদি \(\cfrac{a+b}{b+c}=\cfrac{c+d}{d+a}\) হয়, তবে প্রমান করি যে, \(c=a\) অথবা \(a+b+c+d=0\)

5. যদি \(bcx=cay=abz\) হয়, তবে প্রমান কর যে, \(\cfrac{ax+by}{a^2+b^2}=\cfrac{by+cz}{b^2+c^2}=\cfrac{cz+ax}{c^2+a^2}\) Madhyamik 2016 , 2004

6. যদি \(\cfrac{by+cz}{b^2+c^2}=\cfrac{cz+ax}{c^2+a^2}=\cfrac{ax+by}{a^2+b^2}\) হয়, তবে প্রমান করো যে, \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\) Madhyamik 2015

7. ABC একটি বৃত্তস্থ সমবাহু ত্রিভূজ । যদি A বিন্দুর বিপরীত পার্শ্বে BC চাপের ওপর P যেকোনো একটি বিন্দু হয়, তবে প্রমান কর যে, AP=BP+CP Madhyamik 2002

8. যদি \(x+y \propto x-y\) হয়, তবে প্রমান করো যে, \(x^3+y^3\propto xy(x+y)\)

9. \(\triangle\)ABC-এর শীর্ষবিন্দু A থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব অঙ্কন করলাম। যদি \(\frac{BD}{DA}=\frac{DA}{DC}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

10. যদি \(tan 9^o =\cfrac{a}{b}\) হয়, তবে প্রমান কর যে, \(\cfrac{sec^2 81^o}{1+cot^2 81^o} =\cfrac{b^2}{a^2}\) Madhyamik 2017

11. যদি \(\cfrac{x}{y+z}=\cfrac{y}{z+x}=\cfrac{z}{x+y}\) হয়, তবে দেখাও যে, প্রতিটি অনুপাতের মান হয় \(\cfrac{1}{2}\) না হয় -1 Madhyamik 2015

12. যদি \(\angle A+\angle B=90°\) হয়,তবে দেখাও যে, \(1+\cfrac{\tan A}{\tan B}=\tan^2 A \sec^2 B\) Madhyamik 2014 , 2011

13. যদি \(a^2=by+cz\), \(b^2=cz+ax\) এবং \(c^2=ax+by\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cfrac{x}{a+x}+\cfrac{y}{b+y}+\cfrac{z}{c+z}=1\) Madhyamik 2013

14. যদি \(x+y \propto x-y\) হয়, তবে দেখাও যে, \(x^3+y^3 \propto x^3-y^3\) Madhyamik 2010

15. যদি \(a(\tan\theta+\cot \theta)=1\), \(\sin\theta+\) \(\cos\theta=b\) হয়, তবে প্রমান করো \(2a=b^2-1\), \((0°\lt \theta \lt 90°)\) Madhyamik 2009

16. যদি \(\cfrac{x^2-yz}{a}=\cfrac{y^2-zx}{b}=\cfrac{z^2-xy}{c}\) হয়, তবে প্রমান করো যে \((a+b+c)(x+y+z)\) \(=ax+by+cz\) Madhyamik 2006

17. যদি, \(x=cy+bz, y=az+cx\) এবং \(z=bx+ay\) হয় তবে প্রমান কর যে, \(\cfrac{x^2}{1-a^2}=\cfrac{y^2}{1-b^2}=\cfrac{z^2}{1-c^2}\)

18. যদি দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+bx+c=0\) এর বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:r\) হয়, তবে দেখাই যে, \(\cfrac{(r+1)^2}{r}=\cfrac{b^2}{ac}\)

19. যদি \(\cfrac{bz+cy}{a}=\cfrac{cx+az}{b}=\cfrac{ay+bx}{c}\) হয় তবে প্রমান করো যে, \(\cfrac{x}{a(b^2+c^2-a^2)}\) \(=\cfrac{y}{b(c^2+a^2-b^2)}=\cfrac{z}{c(a^2+b^2-c^2)}\)

20. যদি, \(\cfrac{sin \theta}{x}=\cfrac{cos \theta}{y}\) হয় তবে প্রমান করো যে, \(sin\theta -cos\theta =\cfrac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

21. যদি দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+bx+c=0\) এর বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:r\) হয়, তবে দেখাই যে, \(\cfrac{(r+1)^2}{r}=\cfrac{b^2}{ac}\)

22. যদি দুই অঙ্কের একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল 189 হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুন হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করি ।

23. প্রমান করি যে, \(2(a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি \(a≠b\) হয় ।

24. যদি দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+bx+c=0\) এর বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1:r\) হয়, তবে দেখাই যে, \(\cfrac{(r+1)^2}{r}=\cfrac{b^2}{ac}\)

25. একটি বৃত্তের দুটি পরস্পরছেদী জ্যা-এর অন্তর্ভূক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক যদি কেন্দ্রগামী হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি সমান।

26. এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 2.8 ডেসিমি, 1.5 ডেসিমি ও 0.9 ডেসিমি হলে, একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন কত হবে হিসাব করি। [এক গ্রোস=12 ডজন] কিন্তু যদি একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং প্রস্থ 3.5 সেমি হয়, তবে তার উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি ।

27. বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যদি প্রথম বছর 5% এবং দ্বিতীয় বছর 6% হয়, তবে 5000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি ।

28. যদি \(\cfrac{m}{a}=\cfrac{n}{b}\) হয়, তবে দেখাই যে, \((m^2+n^2)(a^2+b^2)=(am+bn)^2\)

29. যদি \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{x}{y}\) হয়, তবে দেখাই যে, \((a+b)(a^2+b^2 ) x^3=(x+y)(x^2+y^2 ) a^3\)

30. যদি \(\cfrac{ay-bx}{c} \) \(=\cfrac{cx-az}{b}=\) \(\cfrac{bz-cy}{a}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে, \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}\)