1. যদি \(x ∝ y\) হয়, তখন
(a) \( x^2∝y^3\) (b) \(x^3∝y^2 \) (c) \(x∝y^3\) (d) \(x^2∝y^2 \)
2. যদি \(x∝y\) এবং \(y∝z\) হয়, প্রমাণ করো যে, \(x^2+y^2+z^2 ∝xy+yz+zx\)
3. যদি \(y∝x^3\) হয় এবং \(x\) এর বৃদ্ধি \(2:3\) অনুপাতে হয়, তাহলে \(y\) এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।
4. যদি \(3x-4y∝ \sqrt{xy}\) হয়,তবে প্রমাণ করো, \(x^2+y^2∝xy\)
5. যদি \(2x^2+3y^2∝xy\) তাহলে দেখাও \(x ∝ y\)
6. যদি \(x ∝\cfrac{1}{y}\) এবং \(y = 10\) হলে \(x = 5\) হয়, তাহলে \(y = 5\) হলে \(x\) এর মান নির্ণয় করো।
7. যদি \(x\propto y\) হয় তখন –
(a) \(x^2\propto y^3\) (b) \(x^3\propto y^2\) (c) \(x \propto y^3\) (d) \(x^2\propto y^2\)
8. যদি \(y-z∝\cfrac{1}{x} , z-x∝\cfrac{1}{y}\) এবং \(x-y∝\cfrac{1}{z}\) হয়, তাহলে ভেদ ধ্রুবক তিনটির যোগফল 0
9. একটি গ্রামের জনসংখ্যা প্রতিবছর \(\cfrac{x}{2}\)% হারে বাড়ে। যদি বর্তমান জনসংখ্যা \(xy\) হয়, তবে \(z\) বছর পর জনসংখ্যা হবে —
10. যদি \(\cfrac{1}{y}-\cfrac{1}{x}\propto \cfrac{1}{x-y}\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(x\propto y\)
11. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto x+y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x-y\) হয়, তবে দেখাই যে \(x^2-y^2\) = ধ্রুবক।
12. যদি \(y-z∝\cfrac{1}{x} , z-x∝\cfrac{1}{y}\) এবং \(x-y∝\cfrac{1}{z}\) হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি
(a) 0 (b) 1 (c) -1 (d) 2
13. যদি \(x =\sqrt{ 7 + 4√3}\) হয়, তাহলে \(x-\cfrac{1}{x}\) এর মান হবে-
(a) 2 (b) 2√3 (c) 4 (d) 2-√3
14. যদি \( x∝y\) হয়, তাহলে— Madhyamik 2018
(a) \(x^2∝y^3\) (b) \(x^3∝y^2\) (c) \(x∝y^2\) (d) \(x^2∝y^2\)
15. যদি \((u^2+v^2) ∝(x^2+y^2) \) এবং \(uv∝xy\) হয় তবে দেখাও যে \((u+v)∝(x+y)\) যখন \(\cfrac{u}{v}+\cfrac{v}{u}\) \(=\cfrac{x}{y}+\cfrac{y}{x}\)
16. যদি \(x^2+y^2-4x-6y+13=0\) হয়, তাহলে \((x+y) : (y-x) \) এর মান কত?
17. \(x∝ y\) এবং \(x ∝z\) হলে দেখাও যে \(x ∝ (y-z)\)
18. যদি \(cosθ = \cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(xsinθ = y cosθ\)
19. যদি \(b∝a^3\) হয় এবং \(a\) এর বৃদ্ধি \(2:3\) অনুপাতে হয়, তাহলে \(b\) এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।
20. যদি \(x = \cfrac{√3+1}{√3-1}\) এবং \(y = \cfrac{√3-1}{√3+1}\) হয়, তবে দেখাও যে \(\cfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} =\cfrac{7√3}{12}\)
21. যদি \((b + c - a)x = (c + a - b)y\) \( = (a + b - c)z = 2\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\left(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}\right)\left(\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\right)\left(\cfrac{1}{z}+\cfrac{1}{x}\right)=abc\) Madhyamik 2017
22. \(x∝y\) এবং \(y∝z\) হলে, হলে প্রমাণ করো, \((x^2+y^2+z^2)∝(xy+yz+zx)\) Madhyamik 2018
23. যদি \(\left(\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{y}\right)∝\cfrac{1}{x-y}\) হয় তবে দেখাও যে, \((x^2+y^2)∝xy\) । Madhyamik 2019
24. যদি \(x=cy+bz; y=az+cx\) এবং\( z=bx+ay\) হয় , তাহলে প্রমান করো যে \( \cfrac{x^2}{1-a^2}=\cfrac{y^2}{1-b^2}\) Madhyamik 2014
25. যদি \(x=\cfrac{1}{2+\sqrt3};y=\cfrac{1}{2-\sqrt3}\) হয়, তাহলে\(\cfrac{1}{1+x}+\cfrac{1}{1+y}\) = কত? Madhyamik 2014 , 2023
26. যদি \(x+y \propto x-y\) হয়, তবে দেখাও যে, \(x^3+y^3 \propto x^3-y^3\) Madhyamik 2010
27. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto x+y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x – y\) হয়, তবে দেখাও যে, \((x^2 –y^2)\) একটি ধ্রুবক রাশি।
28. যদি \(x =\cfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\) এবং \(xy=1\) হয়, প্রমাণ করাে যে, \(\cfrac{x^2}{y}+\cfrac{y^2}{x}\) এর সরলতম মান 52
29. যদি, \(x=cy+bz, y=az+cx\) এবং \(z=bx+ay\) হয় তবে প্রমান কর যে, \(\cfrac{x^2}{1-a^2}=\cfrac{y^2}{1-b^2}=\cfrac{z^2}{1-c^2}\)
30. যদি \(\log_{\sqrt{x}} 0.25 = 4 \) হয়, তাহলে \(x\) এর মান
(a) 0.5 (b) 0.25 (c) 4 (d) 16
31. যদি \(x(2+\sqrt{3})=y(2-\sqrt{3})=1\) হয়, তাহলে, \(\cfrac{1}{x+1}+\cfrac{1}{y+1}\) -এর মান হবে—
(a) \(1\) (b) \(\sqrt{3}\) (c) \(2\sqrt{3}\) (d) \(2\)
32. যদি \(x = \cfrac{1+sinθ}{cosθ}\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(x^2-2xtanθ-1=0\)
33. যদি \(x =\cfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\) এবং \(xy=1\) হয়, প্রমাণ করাে যে, \(\cfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = \cfrac{7\sqrt{3}}{12}\)
34. \(x+y ∝ x-y\) হলে প্রমাণ করো \(x^3+y^3\) \(∝x^3-y^3\)
35. যদি \(b∝a^3\) হয় এবং \(a\) এর বৃদ্ধি \(2:3\) অনুপাতে হয়, তাহলে \(b\) এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।
36. যদি \(x \propto y\) হয় তাহলে \(y^n \propto x^n\) হবে।
37. যদি \(x^2+px+12=0\)-র একটি বীজ \(2\) হয়, এবং \(x^2+px+q=0\)-র বীজ দুটি সমান হয় তবে \(q\)-র মান নির্ণয় করাে।
38. যদি \(x=\cfrac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}}{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}}\) হয়, তবে \(bx^2-ax+b\) -এর মান নির্ণয় করাে।
(a) 1 (b) \(0\) (c) 3 (d) 4
39. যদি \(x = a cosθ\) এবং \(y = b sinθ\) হয়, তাহলে \(b^2 x^2 + a^2 y^2\) = ?
(a) \(a^2b^2\) (b) \(ab\) (c) \(a^4b^4\) (d) \(a^2+b^2\)
40. যদি \(x=\cfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}\) এবং \(xy=1\) হয়, তবে \(3x^2-5xy+3y^2\) এর মান কত?
41. যদি \(x+y \propto x-y\) হয়, তবে প্রমান করো যে, \(x^3+y^3\propto xy(x+y)\)
42. \(x:y\) অনুপাতটি লঘু অনুপাত হবে যদি \(\cfrac{x}{y}\gt 1\) হয়।
43. \(x\) ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ \(x\)-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ \(x^2\)-এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।
44. \(x ∝ y\) এবং \(y=8\) যখন \(x=2; y=16\) হলে, \(x\)-এর মান -
(a) 2 (b) 8 (c) 6 (d) 4
45. যদি \(x =\cfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\) এবং \(y =\cfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\) হয়, প্রমাণ করাে যে, \(\cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \cfrac{12}{7\sqrt{3}}\)
46. যদি \(\cfrac{x}{y}\propto x + y\) এবং \(\cfrac{y}{x}\propto x - y\) হয় তবে দেখাও যে \(x^2-y^2\) ধ্রুবক। y
47. যদি \(b∝a^2\) হয় এবং \(a\) এর বৃদ্ধি \(2:3\) অনুপাতে হয়, তাহলে \(b\) এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো। Madhyamik 2023
48. যদি নীচের প্রদত্ত তথ্যের যৌগিক গড় 20.6 হয়, তবে a-এর মান নির্ণয় করি :
49. যদি \(cosθ= \cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(xsinθ=ycosθ\)
50. যদি \(x=asinθ\) এবং \(y=btanθ\) হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, \(\cfrac{a^2}{x^2} -\cfrac{b^2}{y^2} =1\)
51. যদি \(sinθ – cosθ = 0 (0°≤ θ ≤ 90°)\) এবং \(secθ + cosecθ = x\) হয়, তাহলে \(x\) -এর মান
(a) 1 (b) 2 (c) \(\sqrt2\) (d) \(2\sqrt2\)
52. \(x ∝ y\) হলে, দেখাই যে, \(x+y ∝ x-y \)
53. যদি \(a ∝ b, b∝\cfrac{1}{c}\) এবং \(c ∝ d\) হয়, তবে \(a\) ও \(d\)-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।
54. \(x^2+y^2∝xy \)
55. \(x^3+y^3∝x^3-y^3 \)
56. \(ax+by ∝ px+qy\) [যেখানে \(a, b, p,q\) অশূন্য ধ্রুবক]
57. \(x^3+y^3∝x^3-y^3\) হলে, প্রমাণ করি যে, \(x+y ∝ x-y\)
58. \(x\) ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ \(x\)-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ \(x^2\)-এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।
59. \(x ∝ y\) এবং \(y=8\) যখন \(x=2; y=16\) হলে, \(x\)-এর মান
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8
60. \(x ∝ y^2\) এবং \(y=4\) যখন \(x=8; x=32\) হলে, \(y\)-এর ধনাত্মক মান
(a) 4 (b) 8 (c) 16 (d) 32
61. \(x ∝ y\) হলে, \(x^n ∝ \) ___________
62. \(x ∝ y\) এবং \(x ∝ z\) হলে, \((y + z) ∝\) __________
63. \(x ∝ y^2\) এবং \(y=2a\) যখন \(x=a; x\) ও \(y\)-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।